圓周率中連續的六個9

圓周率中連續的六個9是指圓周率的小數值中，小數點後第762位開始的連續六個9^[1]。這一現象開始變得廣為人知不僅僅因為它是一個數學巧合，而且是因為有人提出過一個主意，希望能把π記到那一個點，那麼背誦到最後時，他就可以說「999999等等」，也可以半開玩笑地指出，π其實是一個有理數。這個主意最早來自於侯世達在1985年出版的《Metamagical Themas（英語：Metamagical Themas）》。他在書中這麼寫道^[2][3]：

I myself once learned 380 digits of π, when I was a crazy high-school kid. My never-attained ambition was to reach the spot, 762 digits out in the decimal expansion, where it goes "999999", so that I could recite it out loud, come to those six 9's, and then impishly say, "and so on!"

——侯世達，《Metamagical Themas（英語：Metamagical Themas）》

譯文：當我還是瘋狂的高校生時，有一次，我試着將圓周率背到了第380位。我未竟的夙願是背到小數點後的762位，在那裡圓周率出現了一串「999999」。然後，我就可以大聲背誦；當我背到那六個9的時候，就可以頑皮地說，「999999以及等等！」

圖為π的數值至小數點後數百位，當中含有大量雙重連續的數位（黃色標記）、幾組三重連續數位（綠色標記），還有一組六重連續數位（紅色標記）。能在這麼小的樣本中出現這樣一個點，可說是一個很有趣的破格。

圓周率中這一序列連續的六個9有時也被叫做費曼點，以物理學家理查德·費曼命名，因為有人聲稱他曾經在一次講課時說過同樣的話^[4]。關於費曼在何時，抑或是否真的有類似的陳述尚不明確；然而，在費曼的自傳，或是他人寫的傳記中找不到任何相關的情節，且他的傳記作者詹姆斯·格雷克也對此事一無所知^[5]。

相關統計

在數學猜想中π被視為正規數，即每一個數位都是隨機產生的實數，但事實是否如此仍是未知。而在任何隨機得出的正規數中，能這麼早就出現一組指定六位數字的概率，只有0.08%^[4] 。

下一組連續六個相同數位，也是連續六個9，起始點為小數後第193,034位^[4]。再下一組連續六個相同數位，是六個8，起始點為第222,299位；而在第1,699,927位開始0會重覆六遍。在第45,681,781位開始更有一組連續的九個6 (666666666)^[6]。

費曼點同時也是最早出現連續四個及五個數位的地方。再下一次出現連續四個相同數位，是在第1,589位，重覆數位是7^[7]。

單獨和連續一串一、二、三、四、五、六、七、八、九個9首次出現的位置，分別為第5、44、762、762、762、762、1,722,776、36,356,642及 564,665,206位（OEIS數列A048940）^[1]。

在2π（即π×2，有時也叫τ）中對應的點則是七個9，起始點為小數點後第761位。要證明或解釋起來都不難，因為把π的第761至768位乘以2得τ，即2×49999998，等於99999996，因此τ從第761位開始有七個9。相對之下，π的首次連續七個相同數位，則要等到第710,100位的3333333。

小數數值

π的首一千個小數位（三位及更多相同數字連續出現的數字段已經用下劃線標出，內含六個9）^[8]：

3.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

另見

• 純位數
• 0.999...
• 拉馬努金常數

參考資料

1. Wells, D., The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Middlesex, England: Penguin Books: 51, 1986, ISBN 0-14-026149-4.
2. Hofstadter, Douglas. Metamagical Themas. Basic Books. 1985. ISBN 0-465-04566-9.
3. Rucker, Rudy. Douglass Hofstadter's Pi in the Sky. The Washington Post. May 5, 1985 [4 January 2016]. （原始內容存檔於2017-07-13）.
4. Arndt, J. & Haenel, C., Pi — Unleashed, Berlin: Springer: 3, 2001, ISBN 3-540-66572-2.
5. David Brooks. Wikipedia turns 15 on Friday (citation needed). Concord Monitor. 12 January 2016 [10 February 2016]. （原始內容存檔於2017-01-18）.
6. Pi Search. [2012-09-16]. （原始內容存檔於2018-07-05）.
7. 見，例如線上的π搜尋 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
8. π的前一萬個小數位. [2012-09-16]. （原始內容存檔於2012-09-21）.

外部連結

• Feynman Point Mathworld Article（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） — From the Mathworld project.