單向函數

單向函數（One-way function）是一種具有下述特點的單射函數：對於每一個輸入，函數值都容易計算（多項式時間）；但是對於一個隨機的函數值，算出其對應的輸入卻比較困難（無法在多項式時間內使用確定性圖靈機計算）。 單向函數是否存在仍然是計算機科學中的一個開放性問題。事實上，如果單向函數存在，將證明複雜性類P/NP問題中，P不等於NP。^{[1]:ex. 2.2, page 70}與之相對，P不等於NP的假設並不能直接推出單向函數的存在。^[2]

實踐中，常將「容易計算」和「不容易計算」定義為「對於合法用戶容易計算，對於惡意用戶不容易計算」。從這個意義上，密碼散列函數可以被當作單向函數。這是因為，雖然單向函數可能根本不存在，也無人能證明一個散列函數真的是單向函數，但也無人發現可以在合理時間內破解它們的實用算法。

理論定義

函數f: {0, 1}^* → {0, 1}^* 是一個單向函數當且僅當f可以用一個多項式時間的算法計算，但是對於任意一個以x為輸入的隨機化多項式算法A，任意一個多項式p(n)，和足夠大n,使得

${\displaystyle Pr_{x\in \{0,1\}^{n}}[f(A(f(x)))=f(x)]<{\frac {1}{p(n)}}}$

參見

• 陷門函數（英語：Trapdoor function）

參考資料

1. Oded Goldreich（英語：Oded Goldreich） (2001). Foundations of Cryptography: Volume 1, Basic Tools, (draft available （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） from author's site). Cambridge University Press. ISBN 0-521-79172-3. (see also http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/foc-book.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
2. Goldwasser, S. and Bellare, M. "Lecture Notes on Cryptography" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Summer course on cryptography, MIT, 1996–2001