向量組的秩

定義

一般定義

向量組的秩即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數.

維數定義

在向量空間${\displaystyle \mathbb {R} }$ⁿ中任意向量組構成的集合${\displaystyle \{X_{1},X_{2},...,X_{r}\}}$（可能是無限的），那麼該與該向量組對應的向量子空間${\displaystyle <X_{1},X_{2},...,X_{r}>}$的維數${\displaystyle r}$≤${\displaystyle n}$那麼這個${\displaystyle n}$就叫該向量組的秩.

舉例

舉例來說，設有一向量組${\displaystyle S:\{a_{1},a_{2},...,a_{m}\}}$，若存在r個向量${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{r}\in S}$，且r個向量為向量組${\displaystyle S}$的最大線性無關組，則此最大線性無關組的向量個數r，即為向量組${\displaystyle S}$的秩.

假設矩陣A的列秩為r，記矩陣A的列向量為${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}}$，於是能找到r個線性無關的列向量，使得等式${\displaystyle x_{1}c_{i_{1}}+x_{2}c_{i_{2}}+\cdots +x_{r}c_{i_{r}}=0}$只有零解.另一方面，可知此線性方程組只有零解當且僅當它的行向量組的秩${\displaystyle \geq r}$.於是能在此線性方程組的係數矩陣中找到r個線性無關的行向量.注意到這些行向量是由矩陣A的行向量縮短得到的.給這些行向量增加若干個分量，我們就得到矩陣A的r個線性無關的行向量.因此矩陣A的行秩必然${\displaystyle \geq }$列秩.同樣可證矩陣A的列秩${\displaystyle \geq }$行秩.所以行秩等於列秩.記之為矩陣的秩.