向量勢

向量微積分中，向量勢（英語：vector potential），或稱向量位，是一個向量場，其旋度為一給定向量場。這情形類比於純量勢為一純量場，其負值梯度為一給定向量場。

此條目介紹的是向量域的數學理論中的一般概念。關於電磁學中的向量勢，請見「磁矢勢」。關於流體力學中的向量勢，請見「流量函數」。

形式上，給定一向量場 v，則向量勢為一向量場 A 使得

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$。

若一向量場 v 具有向量勢 A，則從等式

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$（旋度的散度為零）

可以得到

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$

暗示了v必須是個螺線向量場(solenoidal vector field)。

一個有意思的問題是：是否任何螺線向量場都具有一向量勢？答案是肯定的，只要向量勢滿足一些特定條件。

定理

設

${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

為二次連續可微的螺線向量場。假設當 ||x||→∞ 時，v(x) 下降得足夠快。定義

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .}$

那麼，A 是 v 的一個向量勢，也就是說：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$

這個定理的一個推廣是亥姆霍茲分解，它表明任何一個向量場都可以分解為一個螺線向量場和一個無旋向量場的和。

非唯一性

螺線向量場所具有的向量勢不是唯一的。如果 A 是 v 的一個向量勢，那麼：

${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m}$

也是一個向量勢，其中m是任何一個連續可微的標量函數。這可以從梯度的旋度是零的事實推出。

參見

• 向量分析基本定理
• 磁矢勢
• 螺線管

參考文獻

• Fundamentals of Engineering Electromagnetics by David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.