史瓦西半徑

史瓦西半徑（Schwarzschild radius）是任何具有質量的物質都存在的一個臨界半徑特徵值。在物理學和天文學中，尤其在萬有引力理論、廣義相對論中，它是一個非常重要的概念。1916年，德國天文學家卡爾·史瓦西首次發現史瓦西半徑的存在，這個半徑是一個球狀對稱、不自轉又不帶電荷的物體的重力場的精確解。該值的含義是，如果特定質量的物質被壓縮到該半徑值之內，將沒有任何已知類型的力（如簡併壓力）可以阻止該物質自身的重力將自己壓縮成一個奇點。

上圖展示五個互相關聯的質量的特性以及將這些特性聯繫起來的正比例常數。每一個質量的例子，都被認為包含全部的五個特性，然而，由於巨大的比例係數，通常很難確認兩個或者三個以上的屬性。

• 史瓦西半徑（r_s）表示物質彎曲時空的能力。
• 標準引力參數（μ）表示一個物體對其他物體施加牛頓引力的能力。
• 慣性質量（m）表示質量對力的牛頓響應。
• 靜止質量（E₀）表示質量轉換成其他形式能量的能力。
• 康普頓波長（λ）表示質量對局部時空幾何的量子響應。

符合條件（即不自轉、不帶電）的任何物體的史瓦西半徑皆與其質量成正比。理論上，太陽的史瓦西半徑約為3公里，地球的史瓦西半徑只有約9毫米。

一個不少於3.2個太陽質量的星體一旦塌縮至小於它的史瓦西半徑便會因為自身重力塌縮成為一點，從而變成黑洞。對於一個已經形成的黑洞來說，若將史瓦西半徑內的物質看作一個系統，則該系統內的任何物質都無法逃逸出該半徑之外。換句話說，該半徑也是不帶電荷無自轉黑洞的視界，光和粒子均無法逃離這個球面。由於黑洞的無毛性（即我們無法得到有關黑洞內部的有效信息），再加上目前所知的科學定律在史瓦西半徑內均會失效，因此我們無法觀測或者預測史瓦西半徑內的事件。也就是說，我們無法確切知道黑洞內是否存在一個由某種物質組成的球體，如果存在的話，其球體的半徑是多少。正因如此，視界通常被認為是黑洞的表面。又因為黑洞視界本身很難直接測量，史瓦西半徑等類似方法就作為估算視界半徑的方法。銀河中心的超大質量黑洞的史瓦西半徑估計約為780萬公里（地球的史瓦西半徑約為9毫米）。一個平均密度等於臨界密度的球體的史瓦西半徑等於我們的可觀測宇宙的半徑，也就是說如果可觀測宇宙的平均密度為臨界密度，其本身可被理解為一個黑洞。

然而，旋轉黑洞、帶電荷黑洞及旋轉並帶電黑洞的解則較為複雜，在不同的條件下，它們可以有兩層、一層或者甚至沒有視界（裸奇異點）。

比較

	史瓦西半徑 (m)	密度 (g/cm3)
銀河	2.08×1015 (~0.2 光年)	3.72×10-8
太陽	2.95×103	1.84×1016
地球	8.87×10-3	2.04×1027
人馬座A*	1.27×1010	1.1×103

公式

一個物體的史瓦西半徑與其質量呈正比，其比例常數中僅有萬有引力常數和光速出現。史瓦西半徑的公式，其實是從物件逃逸速度的公式衍生而來。它將物件的逃逸速度設為光速，配合萬有引力常數及天體質量，便能得出其史瓦西半徑。

${\displaystyle r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

當中，

${\displaystyle r_{s}}$代表史瓦西半徑；

${\displaystyle G}$代表萬有引力常數，即6.67×10^-11 N m² / kg²；

m代表天體質量；

c²代表光速的平方值，即 (299,792,458 m/s)² = 8.98755×10¹⁶ m²/s²。

把常數的數值計算，這條公式也可寫成

${\displaystyle r_{s}=m\times 1.48\times 10^{-27}}$

${\displaystyle r_{s}}$的單位是「米」，而${\displaystyle m}$的單位則是「千克」。

要注意的是，雖然以上公式能計算出準確數值，但需透過廣義相對論才能夠正確推導出史瓦西半徑。有人認為牛頓力學及廣義相對論能導出相同結果，純粹是巧合而已，但也有人認為這暗示着尚未被發現的理論。

從牛頓力學出發

下述為上式以經典力學為依歸的推導過程，雖然結果與用廣義相對論得出的解不謀而合，也不能視為正確，因牽涉到光速，而必須作相對性的修正，僅供參考。^[1]

設一物體${\displaystyle a}$質量為${\displaystyle m_{a}}$，想擺脫一質量為${\displaystyle m}$、半徑為${\displaystyle r}$的星體的引力場，飛到無限遠處，開始時該物體在星體的表面上。因此，它的動能必須大於重力勢能

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{a}v^{2}\geq {\frac {Gm_{a}m}{r}}}$

移項後得出

${\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2Gm}{r}}}}$……①

此時，上式的${\displaystyle v}$就是物體${\displaystyle a}$的脫離速度。

若該星體是一個黑洞，而物體${\displaystyle a}$剛位於它的視界之上，則

${\displaystyle r=r_{s}}$……②

此刻，其脫離速度必為光速${\displaystyle c}$，所以

${\displaystyle v=c}$……③

把②與③代入①得

${\displaystyle c\geq {\sqrt {\frac {2Gm}{r_{s}}}}}$

整理後再改寫成

${\displaystyle r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

由此結論可知：

當把星體視為完美球體

可得體積為

V=${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {2MG}{c^{2}}}\right)^{3}}$

而密度的臨界值 D=${\displaystyle {\frac {3}{32}}{\frac {c^{6}}{\pi M^{2}G^{3}}}}$

所以當 D${\displaystyle \geq {\frac {3}{32}}{\frac {c^{6}}{\pi M^{2}G^{3}}}}$時·星體會因為重力塌縮而變為黑洞。

從以上結論不難得知其星體的質量越大，密度的臨界值會越低。

分類

超大質量黑洞

假如一個天體的密度為1,000千克/立方米（水在普通條件下的密度），而其質量約為1.5億個太陽質量的話，它的史瓦西半徑會超過它的自然半徑，這樣的黑洞被稱為是超大質量黑洞。絕大多數今天觀察到的黑洞的跡象來自於這樣的黑洞。一般認為它們不是由星群收縮碰撞造成的，而是從一個恆星黑洞開始不斷增長、與其它黑洞合併而形成的。一個星系越大其中心的超大質量黑洞也越大。

恆星黑洞

假如一個天體的密度為核密度（約10¹⁸千克/立方米，相當於中子星的密度）而其總質量在太陽質量的三倍左右則該天體會被壓縮到小於其史瓦西半徑，形成一個恆星黑洞。

微黑洞

小質量的史瓦西半徑也非常小。一個質量相當於喜馬拉雅山的天體的史瓦西半徑只有一納米。目前沒有任何可以想象得出來的原理可以產生這麼高的密度。一些理論假設宇宙產生時會產生這樣的小型黑洞。

參考資料及註釋

1. 錢誌恩，鄺立三，《黑洞》，靈通出版社，p.26-27