可除群

在群論中，一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 ${\displaystyle G}$：對每個正整數 ${\displaystyle n}$ 及元素 ${\displaystyle g\in G}$，存在 ${\displaystyle h\in G}$ 使得 ${\displaystyle nh=g}$。等價的表法是：${\displaystyle \forall n>0,\;nG=G}$。事實上，可除群恰好是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上的內射模，所以有時也稱之為內射群。

例子

• 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 對加法構成可除群。
• 一般而言，任何 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間對加法都構成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$。
• p-Prüfer 群 ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty }):=\{e^{\frac {2i\pi }{p^{m}}}:m\in \mathbb {N} _{\geq 0}\}}$ 是可除群
• 在模型論中，任何存在性封閉的群皆可解。

可除群結構定理

令 ${\displaystyle G}$ 為可解群，則其撓子群 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$ 亦可除。由於可解群是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-內射模，${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$ 是直和項，即：

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

商群 ${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)}$ 亦可解，而且其中沒有撓元，所以它是 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-上的向量空間：存在集合 ${\displaystyle I}$ 使得

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

撓子群的結構稍複雜，然而可以證明對所有素數 ${\displaystyle p}$，存在 ${\displaystyle I_{p}}$ 使得

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G))_{p}}$ 是 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$ 是的 ${\displaystyle p}$-準素部分。於是：

${\displaystyle G=(\oplus _{P}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})})\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

推廣

一個環 ${\displaystyle R}$ 上的左可除模是滿足 ${\displaystyle \forall r\neq 0\in R,\;rM=M}$ 的模 ${\displaystyle M}$。可除群不外是可除 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。主理想域上的可除模恰好是內射模。