卡諾定理 (熱力學)

卡諾定理是熱力學中的一個定理，說明熱機的最大熱效率只和其高溫熱源和低溫熱源的溫度有關。此定理以尼古拉·卡諾為名。

根據卡諾定理，則

• 所有不可逆的熱機，其熱效率會比使用相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機要低。
• 所有可逆的熱機，其熱效率會等於相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機。

依卡諾定理可得到一熱機的最大熱效率${\displaystyle \eta }$（也稱作卡諾效率）為

${\displaystyle \eta _{\text{max}}=\eta _{\text{Carnot}}=1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}}$

其中

• T_C為低溫熱源的絕對溫度
• T_H為高溫熱源的絕對溫度

上式的熱效率是指熱機產生的功和高溫熱源提供能量的比值。

上述定律其實是熱力學第二定律的結果。不過當初在推導此定律時是以熱質說為基礎，且以此定律為基礎建立熱力學第二定律。^[1]

證明

證明卡諾定理

此定理可用以下的方式，針對不可逆熱機及可逆熱機的情形進行證明^[2]

不可逆熱機

假設一不可逆熱機，其熱源為${\displaystyle T_{1}}$及${\displaystyle T_{2}}$，其熱效率為${\displaystyle \eta }$，此熱機和一個效率為${\displaystyle \eta \prime }$的逆卡諾熱機，依右圖的方式組合成一個熱力學循環，不可逆熱機產生的功為逆卡諾熱機的工作來源。

若${\displaystyle \eta =\eta \prime }$，則此熱力學循環對系統沒有任何影響，與不可逆性矛盾，因此不成立。

若${\displaystyle \eta >\eta \prime }$，則此熱力學循環可由低溫熱源${\displaystyle T_{2}}$取出

${\displaystyle \Delta Q=\eta Q\left({\frac {1}{\eta \prime }}-1\right)-(1-\eta )Q=Q\left({\frac {\eta }{\eta \prime }}-1\right)>0}$

的能量，將此能量釋放到高溫熱源${\displaystyle T_{1}}$，且不引起其他變化，違反熱力學第二定律，也無法成立。

因此結論為${\displaystyle \eta <\eta \prime }$，不可逆熱機的效率${\displaystyle \eta }$較卡諾熱機的效率${\displaystyle \eta \prime }$低。

可逆熱機

對於可逆熱機的例子，可依類似的方式得到${\displaystyle \eta \leqslant \eta \prime }$的結果。

若用待測的可逆熱機當成逆熱機，和一般的卡諾熱機形成一個熱力學循環，也可得到${\displaystyle \eta \prime \leqslant \eta }$的結果。

由於上述二式需同時成立，可得以下的式子

${\displaystyle \eta =\eta \prime }$

應用在燃料電池上

有關卡諾定理是否能應用在燃料電池，至今科學家還沒有達成共識。凱斯西儲大學的教授認為「由於燃料電池中的電化學反應不涉及將熱能轉換為機械能，因此不受卡諾定理的限制」^[3]。不過K. T. Jacob及Saurabh Jain則認為「傳統的觀點認為燃料電池不受卡諾定理的限制，不過最近幾篇論文都認為熱力學第二定律不但限制熱機的效率，也以同樣方式限制燃料電池的效率」^[4]。

參考資料

1. John Murrell. A Very Brief History of Thermodynamics (PDF). [October 5, 2010]. （原始內容 (PDF)存檔於2009-11-22）.
2. Lecture 10: Carnot theorem (PDF). Feb 7, 2005 [October 5, 2010]. （原始內容存檔 (PDF)於2014-09-12）.
3. Fuel Cell versus Carnot Efficiency. [Feb 20, 2011]. （原始內容存檔於2019-05-05）.
4. Fuel cell efficiency redefined : Carnot limit reassessed. [Feb 20, 2011]. （原始內容存檔於2014-07-16）.