卡比博-小林-益川矩陣(Cabibbo-Kobayashi-Maskawa,CKM或KM matrix)是粒子物理標準模型的一個重要組成成份,它表徵了頂類型和底類型夸克間通過W粒子弱相互作用的耦合強度。對二代夸克情形,它是由意大利物理學家卡比博在1963年首先給出的,通常被稱為卡比博矩陣或卡比博角。1973年日本物理學家小林誠和益川敏英把它推廣到三代夸克。三代矩陣含有相位,可以用來解釋弱相互作用中的電荷宇稱對稱性破缺(CP破壞),也被經常用來解釋宇宙重子數不對稱。CKM矩陣在輕子中的對應是牧-中川-坂田矩陣(Maki-Nakagawa-Sakata或MNS)。
早期的粒子物理模型包涵三種夸克—上夸克、下夸克和奇異夸克。在研究強子的弱衰變中,人們發現奇異數守恆的過程要比不守恆的過程進行得快約20倍。為解釋此現象,卡比博引入了一個下夸克和奇異夸克(這兩種夸克有相同的量子數)之間的混合角θc[1]。上夸克與下夸克和奇異夸克的相互作用耦合分別正比於此角的餘弦(cosθc)和正弦(sinθc)。實驗上sinθc約為0.23。
1973年,在一篇發表在日本期刊《理論物理學進展》上的題為「弱相互作用可重整化理論中的CP破壞」的論文中,小林誠和益川敏英把卡比博角推廣到三代夸克[2]。他們發現雖然一般的三維幺正矩陣有九個實參數,但是只有四個具有物理意義,而其它的都可以被吸收到夸克波函數的位相中而不為觀測。四個物理參數中的一個是位相因子,它提供了CP破壞的微觀機制,同時猜測了第三代夸克的存在,因此具有重大的物理意義。他們二人也因而與南部陽一郎分享了2008年諾貝爾物理學獎[3][4]。
如今,尋找CKM矩陣參數的微觀物理起源是粒子物理理論研究的重大課題之一。
CKM矩陣是一個三維幺正矩陣。
小林誠和益川敏英當初給的表示是[2]:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\cos \theta _{3}&-\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}\\\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\\\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}+\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}-\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1092e4ebb9af2a8efbea6825b92b618efbfd0077)
在標準參數化下,它可以由三個混合角(θ12,θ13,θ23)和一個相位(δ)表示為[5]
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79a2ccbbb9d6298f684ddfbcd26a6c85d7533cf)
其中(u,c,t)和(d,s,b)分別代表三代頂類型(上、粲、頂)和底類型(下、奇異、底)夸克,c12,s12等是cosθ12,sinθ12等的簡寫。
目前實驗給出的數據:
- θ12 = 7001130399999999999♠13.04±0.05°
- θ13 = 6999201000000000000♠0.201±0.011°
- θ23 = 7000238000000000000♠2.38±0.06°
- δ13 = 7000120000000000000♠1.20±0.08
實驗上CKM矩陣參數滿足s13<<s23<<s12<<1。
描寫這一重要特性的一個常用參數化表示是由美國物理學家林肯·沃芬斯坦給出的。記
![{\displaystyle s_{12}=\lambda ={\frac {|V_{us}|}{\sqrt {|V_{ud}|^{2}+|V_{us}|^{2}}}},\quad s_{23}=A\lambda ^{2}=\lambda \left|{\frac {V_{cb}}{V_{us}}}\right|,\,\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373d7463827e5b2077a10abc87532a056305a41b)
![{\displaystyle s_{13}e^{i\delta }=V_{ub}^{*}=A\lambda ^{3}(\rho +i\eta )={\frac {A\lambda ^{3}({\bar {\rho }}+i{\bar {\eta }})(1-A^{2}\lambda ^{4})^{1/2}}{(1-\lambda ^{2})^{1/2}[1-A^{2}\lambda ^{4}({\bar {\rho }}+i{\bar {\eta }})]}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97465ac2d4e646e7f3f2bf365bd28ceb7aaf7908)
截止到λ3,CKM矩陣為[6]
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1-\lambda ^{2}/2&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-\lambda ^{2}/2&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf0cc593008fd4e43ecd792b51a50030266259b)
CKM矩陣的數學推導相當平庸。首先任意一個三維矩陣可以寫成歐拉形式V=V2V1V3,其中對角塊矩陣V1,V2,V3有以下形式(X代表非零元)
![{\displaystyle V_{1}={\begin{bmatrix}X&X&0\\X&X&0\\0&0&X\end{bmatrix}},\quad V_{2,3}={\begin{bmatrix}X&0&0\\0&X&X\\0&X&X\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b90a4c0a28094babd3aec0af00d738e27cbe434)
其次注意到任意一個二維幺正矩陣可以表為(ε,η,ρ為幺模複數,c=cosθ,s=sinθ)
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}\epsilon c&\epsilon \eta s\\-\rho s&\rho \eta c\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc612d2417867323a73a5a5a73cd865a363c0848)
由此
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon ^{*}&0\\0&\rho ^{*}\end{bmatrix}}U{\begin{bmatrix}1&0\\0&\eta ^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b57907d9f3e92be34072f782126323fa484c1af)
因此可以通過一系列對角幺正矩陣作矩陣變換
![{\displaystyle V\rightarrow DVD'=DV_{2}D''D''^{*}V_{1}D'''^{*}D'''V_{3}D'=V_{2}'V_{1}'V_{3}'}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85b752576b996fc2a8d21c9d15d78c5d8bafa53)
使得
![{\displaystyle V_{2}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{2}&-s_{2}\\0&s_{2}&c_{2}\end{bmatrix}},\quad V_{3}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{3}&s_{3}\\0&-s_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f057b197155299a50a371fa53c5ad13a4af7300)
在上式中V2'仍是與V2同形的一般幺正矩陣,
但可以繼續在V上左、右相乘與V2'和V3'對易的對角矩陣,即
diag(α,β,β)型矩陣(α,β幺模),使得
![{\displaystyle V_{1}'={\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}&0\\-s_{1}&c_{1}&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86afeb0c63a554dfc28af66a44ebca7bb7cc61a6)
最後將所有的對角(相位)變換矩陣吸收到夸克波函數中去,V2',V1',V3'相乘即得CKM矩陣。
CKM矩陣元實驗測定和最新數據的詳細資料,可參閱粒子數據組的網頁和出版物[7]
![{\displaystyle V_{CKM}={\begin{bmatrix}0.97427\pm 0.00015&0.22534\pm 0.00065&0.00351_{-0.00014}^{+0.00015}\\0.22520\pm 0.00065&0.97344\pm 0.00016&0.0412_{-0.0005}^{+0.0011}\\0.00867_{-0.00031}^{+0.00029}&0.0404_{-0.0005}^{+0.0011}&0.999146_{-0.000046}^{+0.000021}\end{bmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29a803727f86f74fd4021ea8128ea417cfbd18f)
沃爾芬斯坦參數:
- 和雅爾斯廓格不變量:
![{\displaystyle J=(2.96_{-0.16}^{+0.20})\times 10^{-5}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704383d5943a4d9e0f207cadcbcbb8fd2b5c6125)
考慮有 N 代夸克 (2N 種風味),那麼
- 一個 N × N 的么正矩陣需要 N2 個實係數來給定 (因為么正矩陣滿足 VV† = I,其中 V† 是 V 的共軛轉置,而 I 是單位矩陣) 。
- 其中 2N − 1 個係數不是物理上實際的,因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個),而全部的共同相位是不可觀測的。因此,不受相位選擇影響的自由變數總共有 N2 − (2N − 1) = (N − 1)2 個。
- 這其中有 N(N − 1)/2 個是旋轉角度,稱為夸克的混合角。
- 而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 個就是造成 CP破壞的複數相位。
當 N = 2 時,獨立變量只有一個,就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時,這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為卡比博角度,由尼古拉·卡比博發明。
在標準模型中,N = 3,總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。
CP破壞是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在(即反物質消失)的沙卡洛夫三條件(熱力學非平衡,重子數不守恆,C和CP對稱性不守恆)之一,因此CKM矩陣在粒子宇宙學中有着重要應用。但是現在公認的結論是實驗測量到CP破壞的數量級,遠不足以解釋觀測到的重子不對稱度,因此重子生成必須有其他的來源。
N. Cabibbo. Unitary Symmetry and Leptonic Decays. Physical Review Letters. 1963, 10: 531–533.
M. Kobayashi and T. Maskawa. CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction. Progress in Theoretical Physics. 1973, 49: 652–657.
L.L. Chau and W.-Y. Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix. Physical Review Letters. 1984, 53: 1802.
L. Wolfenstein. Parameterization of the Kobayashi-Maskawa Matrix. Physical Review Letters. 1983, 51: 1945–1947.