動差

動差^[1]（英語：moment）又稱矩^[2][3]，其概念來自於物理學。在物理學中，矩用來表示物體形狀的物理量，為重要參數指標。在數學中，矩的概念是用來度量一組具有一定形態特點的點陣。舉個常用的例子，一個「二階矩」，我們在一維上可以測量它的「寬度」；而在更高階的維度上，由於其適用於橢球的空間分佈，我們還可以對點的雲結構進行測量和描述。其他的矩用來描述諸如與均值的歪斜分佈情況（偏態），或峰值的分佈情況（峰態）等其他方面的分佈特點。

定義

設隨機變數（或統計量，下同）${\displaystyle X}$的概率密度函數為${\displaystyle f(x)}$。

對於離散型隨機變量，在存在的前提下，其相對於值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$階矩為：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}$

對於連續型隨機變量，在存在的前提下，其相對於值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$階矩為：

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}$

特別地，當${\displaystyle c=0}$時稱之為原點矩，當${\displaystyle c=E(X)}$時稱之為中心矩。

期望（Expectation）

隨機變數的期望値定義為其1階原動差：

${\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}$

在變異數等定義中，期望值也稱為隨機變量的「中心」。顯然，任何隨機變量的1階主動差為0。

方差（Variance）

隨機變量的方差定義為其2階主動差：

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}$

偏態（Skewness）

隨機變量的偏態定義為其3階主動差：

${\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}$

峰態（Kurtosis）

隨機變量的峰態定義為其4階主動差：

${\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}$

樣本矩

矩常常通過樣本矩

${\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}$

來估計。此方法不需要先估計其概率分布。

參見

• 主動差
• 矩生成函數
• 力矩

外部連結

• Mathworld Website （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

1. 龔曙明. 应用统计学. 清華大學出版社有限公司. 2005: 91 [2023-07-26]. ISBN 9787810825863. （原始內容存檔於2023-07-26）.
2. 國家教育研究院. 數學名詞（第四版）. 2014: 元照出版公司. : 259 [2023-07-26]. ISBN 9789860440454. （原始內容存檔於2023-07-26）.
3. 國家教育研究院. 土木工程名詞 (第三版). 元照出版公司. 2015: 133 [2023-07-26]. ISBN 9789860465402. （原始內容存檔於2023-07-26）.