劉益(?—?),河北中山府人,又稱為「中山劉先生」,北宋數學家。著有《議古根源》一書二百問;南宋數學家楊輝在《楊輝算法》高度評價劉益在數學上的貢獻:「劉益以勾股之術,治演段鎖方,撰《議古根源》二百問。帶益隅開方實冠前古[1]

楊輝在《楊輝算法》一書中多次引用《議古根源》。直到明代程大位的《算法統宗》還提到《議古根源》這部算書;但從此以後失傳。所幸《楊輝算法》多處引用《議古根源》,從這些片斷,可知劉益對數學的貢獻有三個方面:截積術、演段術和帶從開方正負損益法[2]

學術貢獻

截積術

Thumb

從平面幾何圖形截取一段已知面積,求截取面積有關的線段長度。 「圓田一段直徑十三步,今從邊截積三十二步;問:所截弦矢各幾步?答數弦十二步矢四步

劉益得到下列方程

方法
上廉
下廉
負隅


即四次方程:

演段術

Thumb
劉益演段圖

劉益《議古根源》一書今已失傳,但在南宋數學家楊輝的著作中還保留《議古根源》演段術的片段[3]楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下:中山劉先生序謂算之術入則諸門出則直田;《議古根源》故立演段百問,蓋欲演算之片斷也,知片斷則能窮根源。

第六問:直田積八百六十四步,只雲長闊共六十步,問長多闊幾何?

答曰十二步。

演段曰:和自乘有四段直田積一段差方積,所以用四積減和方余得差方一段,卻取方面。

長闊差的平方 =
所以 長闊差 = 12

帶從開方正負損益法

劉益將賈憲的改進成為解含任意係數的高次方程的方法 例:解下列四次方程

以4為商(矢)

方法
上廉
下廉
負隅

程序: 1)上商乘負隅併入下廉得三十二

方法
上廉
下廉
負隅


2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六

方法
上廉
下廉
負隅

3) 又已上商乘上廉得一千二十四為方法

方法
上廉
下廉
負隅

4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六與實相消為零

方法
上廉
下廉
負隅

得矢=4

評價

數學史家錢寶琮說:「宋時已能建立含負係數的四次方程,並能數值求解[4]

參考文獻

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