劉益 (數學家)

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劉益（？—？），河北中山府人，又稱為「中山劉先生」，北宋數學家。著有《議古根源》一書二百問；南宋數學家楊輝在《楊輝算法》高度評價劉益在數學上的貢獻：「劉益以勾股之術,治演段鎖方,撰《議古根源》二百問。帶益隅開方實冠前古」^[1] 。

楊輝在《楊輝算法》一書中多次引用《議古根源》。直到明代程大位的《算法統宗》還提到《議古根源》這部算書；但從此以後失傳。所幸《楊輝算法》多處引用《議古根源》，從這些片斷，可知劉益對數學的貢獻有三個方面：截積術、演段術和帶從開方正負損益法^[2]。

學術貢獻

截積術

從平面幾何圖形截取一段已知面積，求截取面積有關的線段長度。 「圓田一段直徑十三步，今從邊截積三十二步；問：所截弦矢各幾步？答數弦十二步矢四步」

劉益得到下列方程

實

方法

上廉

下廉

負隅

即四次方程：${\displaystyle -5x^{4}+52x^{3}+128x=4096}$

演段術

劉益演段圖

劉益《議古根源》一書今已失傳，但在南宋數學家楊輝的著作中還保留《議古根源》演段術的片段^[3]。 楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下：中山劉先生序謂算之術入則諸門出則直田；《議古根源》故立演段百問，蓋欲演算之片斷也，知片斷則能窮根源。

第六問：直田積八百六十四步，只雲長闊共六十步，問長多闊幾何？

答曰十二步。

演段曰：和自乘有四段直田積一段差方積，所以用四積減和方余得差方一段，卻取方面。

長闊差的平方 = ${\displaystyle (60)^{2}-4*864=144}$

所以 長闊差 = 12

帶從開方正負損益法

劉益將賈憲的改進成為解含任意係數的高次方程的方法 例：解下列四次方程

${\displaystyle -5x^{4}+52x^{3}+128x=4096}$

以4為商(矢)

商

實

方法

上廉

下廉

負隅

程序： 1)上商乘負隅併入下廉得三十二

商

實

方法

上廉

下廉

負隅

2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六

商

實

方法

上廉

下廉

負隅

3) 又已上商乘上廉得一千二十四為方法

商

實

方法

上廉

下廉

負隅

4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六與實相消為零

商

實

方法

上廉

下廉

負隅

得矢=4

評價

數學史家錢寶琮說：「宋時已能建立含負係數的四次方程，並能數值求解^[4]

參考文獻

1. 宋 楊輝 《楊輝算法 乘除變通本末 》第236頁 遼寧教育出版社 ISBN 7538247394
2. 吳文俊主編 《中國數學史大系》 第五卷 第二編 北宋時代 劉益 41-51頁
3. 吳文俊主編 《中國數學史大系》 第五卷 第二編 北宋時代 劉益演段術 46頁
4. 錢寶琮 《中國數學史》上篇