函數圖形

在數學中，函數 f 的圖形（或圖像）指的是所有有序對(x, f(x))組成的集合。具體而言，如果x為實數，則函數圖形在平面直角坐標系上呈現為一條曲線。如果函數自變量x為兩個實數組成的有序對(x₁, x₂)，則圖形就是所有三重序(x₁, x₂, f(x₁, x₂))組成的集合，呈現為曲面（參見三維計算機圖形）。

函數 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 的圖形

sin(x)等函數的圖形

實函數的圖形擁有其唯一的圖像。而對於一般的函數，其圖形形式無法應用，圖形的正式定義取決於數學表述的需要，例如泛函分析中的閉圖像定理。

函數圖形的概念由二元關係圖形推廣而來。需要注意的是，儘管一個函數與其圖像通常是一一對應的，但二者並不可混淆。兩個函數可能擁有相同的圖像，卻有不同的上域。例如，對於下文提到的三次多項式，當其上域為實數時函數即為滿射，而若其上域為複數則不然。

通過垂線測試可以判斷一條曲線是否為一個函數，而通過水平線測試可以判斷函數是否為單射且是否存在反函數。如果反函數存在，則其圖像可以通過將原函數圖像以直線y=x為軸進行對稱得到。

樣例

單變量函數

一次函數

三個線性函數的圖形都是直線。紅色與藍色直線的斜率相同。 紅色與綠色直線的 y-截距相同

參見：線性函數

形如

${\displaystyle f(x)=kx+b\!\ }$

的圖像為：

${\displaystyle \left\{(x,kx+b)|x\in \mathbb {R} \right\}}$

在平面直角坐標系中，該圖像為一條直線。這是因為，該函數的導數為常數${\displaystyle k}$。

非線性函數

函數 ${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$ 的圖像

對於二次或更高次的多項式函數，或者其他的非線性函數，其圖像則會呈現為一條曲線。這是因為其導函數不是常數函數。

例如，三次函數

${\displaystyle f(x)={{x^{3}}-9x}\!\ }$

的圖像為

${\displaystyle \left\{(x,x^{3}-9x)|x\in \mathbb {R} \right\}}$

如果將這個圖像繪製在平面直角坐標系中，則會得到一條三次曲線（見右圖）。

雙變量函數

函數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}f(x,y)=\sin(x^{2})\times \cos(y^{2})\end{smallmatrix}}}$ 的圖像

三角學中的函數

${\displaystyle f(x,y)=\sin x^{2}\cos y^{2}}$

的圖像為

${\displaystyle \left\{(x,y,\sin x^{2}\cos y^{2})|x,y\in \mathbb {R} \right\}}$

如果這個圖像繪製在了三維坐標系中，則會得到一個曲面（見圖）。

函數圖像繪製工具

硬件

TI-83繪圖計算器

• 圖形計算器
• 示波器

軟件

更多資訊：動態幾何軟體

參考文獻

• Weisstein, Eric W. "Function Graph - MathWorld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）."

相關條目

• 函數
• 導數
• 駐點
• 斜率
• 截距
• 方程
• 坐標系