內側菱形三十面體

在幾何學中，內側菱形三十面體，又稱小星形三十面體^[1][2]是一種菱形三十面體的星形多面體^[3]，由30個全等且互相相交的菱形組成。其對偶多面體為截半大十二面體。

內側菱形三十面體

內側菱形三十面體
類別	均勻多面體對偶 星形多面體 三十面體 星形菱形三十面體
對偶多面體	截半大十二面體
識別
名稱	內側菱形三十面體
參考索引	DU36
性質
面	30
邊	60
頂點	24
歐拉特徵數	F=30, E=60, V=24 （χ=-6）
組成與佈局
面的種類	30個菱形
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
特性
等面、非凸
圖像
截半大十二面體 （對偶多面體）
閱 論 編

性質

內側菱形三十面體由30個面、60條邊和24個頂點組成，其30個面皆由菱形組成。內側菱形三十面體有兩種頂角，一種由菱形的銳角組成，頂點圖為五邊形；另一種由菱形的鈍角組成，頂點圖為五角星，其中，頂點圖為五角星的頂點藏在圖形內部^[4]。

頂點座標

對偶邊長為1的內側菱形三十面體的頂點座標為^[5]：

${\displaystyle (\pm {\frac {3}{4}},0,\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{8}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{8}},\pm {\frac {3}{4}},0)}$

${\displaystyle (0,\pm {\frac {3(1+{\sqrt {5}})}{8}},\pm {\frac {3}{4}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{8}},0,\pm {\frac {3}{4}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {3}{4}},\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{8}},0)}$

${\displaystyle (0,\pm {\frac {3}{4}},\pm {\frac {3({\sqrt {5}}-1)}{8}})}$

二面角

大六角二十四面體僅有一種二面角，為兩個菱形的棱之交角，其值為負二分之一的反餘弦值^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {1}{2}})={\frac {2\pi }{3}}\approx 2.0943=120^{\circ }}$

作為星形多面體

內側菱形三十面體可以看作是一種菱形三十面體的星形多面體，即星形菱形三十面體^[2][7]:41。

星狀圖（英語：Stellation diagram）	星形	星狀核	凸包
		菱形三十面體	正二十面體

拓樸正多面體

內側菱形三十面體在拓樸中相當於五階正方形鑲嵌的商空間，其可以將作為內側菱形三十面體中的菱形面進行拓樸變形成正方形而構造出五階正方形鑲嵌，因此在另外一個索引中也被看作是一種正多面體^[8]：

五階四邊形三十面體

類別	抽象正多面體（英語：Abstract_polytope）
對偶多面體	四階五邊形二十四面體
數學表示法
施萊夫利符號	{4,5}6
性質
面	30
邊	60
頂點	24
歐拉特徵數	F=30, E=60, V=24 （χ=-6）
虧格	4
組成與佈局
面的種類	四邊形
對稱性
對稱群	S5， 120元素
閱 論 編

內側菱形三十面體在拓樸學上由30個四邊形組成，且每個頂點都是5個四邊形的公共頂點，因此在拓樸學上滿足抽象正多面體的定義。^[8][9][10]然而這種抽象面體若是具象化為內側菱形三十面體則僅能具象化一辦的對稱性。這種抽象正多面體可以對應到虧格為4的五階四邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{4,5}₆）^[11]，對應的皮特里多邊形為六邊形^[11]。

其他四種抽象正多面體為：

多面體	內側菱形三十面體	截半大十二面體	內側三角六邊形二十面體	雙三斜十二面體	凹五角錐十二面體
種類	{4,5}6	{5,4}6	{6,5}4	{5,6}4	{6,6}6
頂點圖	{5}, {5/2}	(5.5/2)2	{5}, {5/2}	(5.5/3)3
面	30個菱形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形
鑲嵌	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

參考文獻

1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
2. Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8.
3. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The fifty-nine icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR676126. (1st Edn University of Toronto (1938))

1. Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. ISBN 978-0486614809 p. 102-103
2. Weisstein, Eric W. (編). Medial Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. （原始 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）內容於2016-09-01）.
3. Medial Rhombic Triacontahedron. software3d.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
4. Wenninger, M. J. Dual Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 41 and 46, 1983. ISBN 978-0521245241
5. Data of Medial Rhombic Triacontahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-09-01）.
6. Versi-Regular Polyhedra: Medial Rhombic Triacontahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-03-24）.
7. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208
8. David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大學. [2013-05-05]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
9. Regular Polyhedra of Index Two, I （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
10. Regular Polyhedra of Index Two, II （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
11. S4:{4,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16].

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 內側菱形三十面體. MathWorld.