克萊因瓶

在數學領域中，克萊因瓶（德語：Kleinsche Flasche）是指一種無定向性的平面，比如二維平面，就沒有「內部」和「外部」之分。克萊因瓶最初的概念提出是由德國數學家費利克斯·克萊因提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像。

要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。

和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有「邊」，它的表面不會終結。它也不類似於氣球，一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面（所以說它沒有內外部之分）。

其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」（克萊因平面），後來被誤解為「Kleinsche Flasche」（克萊因瓶）。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。^[1]

從拓撲學角度上看，克萊因瓶可以定義為[0,1] × [0,1]的矩陣，邊定義為(0,y) ~ (1,y)，其中0 ≤ y ≤ 1；和(x,0) ~ (1-x,1)，其中0 ≤ x ≤ 1。

可以用圖表示為

就像莫比烏斯帶一樣，克萊因瓶是不可定向的。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以嵌入到三維或更高維的歐幾里得空間，克萊因瓶只能嵌入到於四維或更高維空間。

克萊因瓶的參數十分複雜：

{\begin{aligned}&x(u,v)=-{\frac {2}{15}}\cos u(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}-60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u})\\&y(u,v)=-{\frac {1}{15}}\sin u(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}-60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\\&\quad \quad \quad \quad -5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u})\\&z(u,v)={\frac {2}{15}}(3+5\cos {u}\sin {u})\sin {v}\\&(0\leq u<\pi ,0\leq v<2\pi )\end{aligned}}

還有一個較簡單的

{\begin{aligned}&x(u,v)=\cos u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&y(u,v)=\sin u(\cos {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\sin {\frac {u}{2}}\sin v\cos v)\\&z(u,v)=-\sin {\frac {u}{2}}({\sqrt {2}}+\cos v)+\cos {\frac {u}{2}}\sin v\cos v\end{aligned}}

[1]
Bonahon, Francis. Low-dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots. American Mathematical Soc. : 95 [2021-11-09]. ISBN 978-0-8218-8465-2. （原始內容存檔於2022-04-10）（英語）.

性質