克勞修斯-莫索提方程式

克勞修斯-莫索提方程式（Clausius-Mossotti equation）表達了線性介電質的極化性和相對電容率之間的關係，是因義大利物理學者莫索提（Ottaviano-Fabrizio Mossotti）和德國物理學者魯道夫·克勞修斯而命名^[1][2]。這方程式也可以更改為表達極化性和折射率之間的關係，此時稱為洛倫茲-洛倫茨方程式（Lorentz-Lorenz equation）。

極化性是一種微觀屬性，而相對電容率則是在介電質內部的一種巨觀屬性，所以，這方程式式連結了介電質關於電極化的微觀屬性與巨觀屬性。

導引

一個分子的極化性${\displaystyle \alpha }$定義為^[3]

${\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ \alpha \mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {p} }$是分子的感應電偶極矩，${\displaystyle \mathbf {E} }$是作用於分子的電場。

介電質的電極化強度定義為總電偶極矩每單位面積：

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\mathbf {p} _{j}(\mathbf {r} )}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度，${\displaystyle \mathbf {r} }$是檢驗位置，${\displaystyle N_{j}}$、${\displaystyle \mathbf {p} _{j}}$分別是分子${\displaystyle j}$ 的數量每單位面積與電偶極矩。

總合介電質內每一種分子的貢獻，就可以計算出介電質的電極化強度。將極化性的定義式代入，可以得到

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\alpha _{j}\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$。

當計算這方程式時，必需先知道在分子位置的電場，稱為「局域電場」${\displaystyle \mathbf {E} _{local}}$。介電質內部的微觀電場，從一個位置到另外位置，其變化可能會相當劇烈，在電子或質子附近，電場很大，距離稍微遠一點，電場呈平方反比減弱。所以，很難計算這麼複雜的電場的物理行為。幸運地是，對於大多數計算，並不需要這麼詳細的描述。所以，只要選擇一個足夠大的區域（例如，體積為${\displaystyle V'}$、內中含有上千個分子的圓球體${\displaystyle \mathbb {V} '}$）來計算微觀電場${\displaystyle \mathbf {E} _{micro}}$的平均值，稱為「巨觀電場」${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}}$，就可以足夠準確地計算出巨觀物理行為：

${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}={\frac {1}{V'}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {E} _{micro}\ \mathrm {d} ^{3}r'}$。

對於稀薄介電質，分子與分子之間的距離相隔很遠，鄰近分子的貢獻很小，局域電場可以近似為巨觀電場　${\displaystyle \mathbf {E} _{macro}}$：

${\displaystyle \mathbf {E} _{local}\approx \mathbf {E} _{macro}}$。

但對於緻密介電質，分子與分子之間的距離相隔很近，鄰近分子的貢獻很大，必需將鄰近分子的貢獻${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$納入考量：

${\displaystyle \mathbf {E} _{local}=\mathbf {E} _{macro}+\mathbf {E} _{1}}$。

因為巨觀電場已經包括了電極化所產生的電場（稱為「去極化場」）${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$，為了不重覆計算，在計算${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$時，必需將鄰近分子的真實貢獻${\displaystyle \mathbf {E} _{near}}$減掉去極化場：

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{near}-\mathbf {E} _{p}}$。

舉一個簡單案例，根據洛倫茲關係（Lorentz Relation），對於立方晶系結構的晶體或各向同性的介電質，由於高度的對稱性， ${\displaystyle \mathbf {E} _{near}=0}$。

現在思考以分子位置${\displaystyle \mathbf {r} }$為圓心、體積為${\displaystyle V'}$的圓球體${\displaystyle \mathbb {V} '}$，感受到外電場的作用，${\displaystyle \mathbb {V} '}$內部的束縛電荷會被電極化，從而產生電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$。假設在${\displaystyle \mathbb {V} '}$內部的電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$相當均勻，則電極化強度${\displaystyle \mathbf {P} }$與${\displaystyle \mathbb {V} '}$的電偶極矩之間的關係為

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {P} V'}$。

這線性均勻介電質圓球體內部的電場為^[4]

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}=-{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}}}$。

綜合前面得到的結果：

${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}-\mathbf {E} _{p})=\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}+{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}})}$。

對於各向同性、線性、均勻的介電質，電極化率${\displaystyle \chi _{e}}$定義為

${\displaystyle \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} _{macro}}$。

電極化率與極化性的關係為

${\displaystyle {\frac {\chi _{e}}{\chi _{e}+3}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。

由於相對電容率${\displaystyle \epsilon _{r}}$與電極化率的關係為

${\displaystyle \epsilon _{r}=1+\chi _{e}}$。

所以，電容率與極化性的關係為

${\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。

這方程式就是克勞修斯-莫索提方程式。

電介質的折射率${\displaystyle n}$為

${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}}$；

其中，${\displaystyle \mu _{r}}$是相對磁導率。

對於大多數介電質，${\displaystyle \mu _{r}=1}$，所以，折射率近似為${\displaystyle n\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}}$ 。將折射率帶入克勞修斯-莫索提方程式，就可以給出洛倫茲-洛倫茨方程式^[5]：

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$。

參考文獻

1. O. F. Mossotti, Discussione analitica sull』influenza che l』azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell』elettricità alla superficie di più corpi elettrici disseminati in esso, Memorie di Mathematica e di Fisica della Società Italiana della Scienza Residente in Modena, vol. 24, p. 49-74 (1850)
2. R. Clausius, Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie, vol. 2, p. 143, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig (1867).
3. Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 161, 1998, ISBN 0-13-805326-X 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
4. Kittel, Charles, Introduction to Solid State Physics 8th, USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 460–465, 2005, ISBN 978-0-471-41526-8 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
5. 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義II (4)電磁與物質, 台灣: 天下文化書: pp. 177ff, 2006, ISBN 978-986-216-476-1 引文格式1維護：冗餘文本 (link)