任意子

此條目的主題是數學和物理學中的概念。關於可提供任意電流電壓的電路，請見「任意子 (電路)」。

任意子（英語：anyon）是數學和物理學中的一個概念。它描述一類只在二維系統中出現的粒子。它是對費米子和玻色子概念的廣義化。

阿貝爾任意子

在石墨烯、量子霍爾效應等二維物理系統中任意子這個數學概念變得越來越有用。 在三維以上的空間裡，粒子根據其統計特性的不同只能是費米子或者是玻色子。費米子遵從費米-狄拉克統計，玻色子遵從玻色-愛因斯坦統計。在量子力學中這些統計是根據多粒子狀態下粒子交換的反應來描寫的。使用狄拉克符號在兩粒子狀態中為：

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =\pm \left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$

其中${\displaystyle \left|\dots \right\rangle }$中的第一項是第一個粒子的狀態，第二項是第二個粒子的狀態。因此公式的左側的意思是「粒子一在${\displaystyle \psi _{1}}$狀態和粒子二在${\displaystyle \psi _{2}}$狀態」。加號相應於兩個粒子都是玻色子，減號相應於兩個粒子都是費米子（玻色子和費米子混合的狀態是不可能的）。

1977年，奧斯陸大學的兩名學者證明在二維系統中准粒子可以連續地遵循費米-狄拉克統計和玻色-愛因斯坦統計之間的任何統計。^[1]使用上面兩粒子系統的例子其公式為：

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\,\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$

${\displaystyle i}$是複數計算中的虛數單位，${\displaystyle \theta }$是一個實數。${\displaystyle |e^{i\theta }|=1}$，${\displaystyle e^{2i\pi }=1}$和${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$。假如${\displaystyle \theta =\pi }$我們獲得費米-狄拉克統計（負號），假如${\displaystyle \theta =2\pi }$我們獲得玻色-愛因斯坦統計（正號）。在其間我們獲得其它統計。任意子這個名稱是弗朗克·韋爾切克起的^[2]，因為這些粒子在進行粒子交換的情況下可以有任意相。

我們也可以用${\displaystyle \theta =2\pi s}$，其中粒子的自旋量子數s對於玻色子而言是整數，對於費米子而言是半整數。因此：

${\displaystyle e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s}}$，或者${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =(-1)^{2s}\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$

在邊界上，分數量子霍爾效應任意子被限制在一維空間中移動。一維任意子的數學模型提供了上述交換關係的基礎。

拓撲相等

任意子跟下面的概念相關：

• 同倫
• 辮理論
• 路徑積分表述^[3][4]
• 阿哈羅諾夫－玻姆效應

實驗

1982年，崔琦發現了分數量子霍爾效應，贏了物理學諾貝爾獎。他的作品說明了任意子可能有石墨烯和半導體的引用。

拓撲學基礎

在任何二維以上的空間裡，自旋統計定理規定任何多粒子狀態都必須要麼遵循費米-狄拉克統計，要麼遵循玻色-愛因斯坦統計。這與${\displaystyle n>2}$的SO(n,1)基本群有關，其值為${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$（有兩個元素的循環群）。因此這裡只有兩個可能性（這裡的細節比上述的要複雜，但是最關鍵的原因是這個）。

在二維空間裡情況發生了變化，這裡SO(2,1)的基本群是${\displaystyle Z}$（無限循環）。這意味着Spin(2,1)不是通用覆蓋：它們不是單連通。詳細地說特殊正交群SO(2,1)的射影表示不僅僅有SO(2,1)或者其二重覆蓋群旋量群Spin(2,1)的線性表示。而這些額外的表示被稱為任意子。

這個概念對非相對論系統也有效。關鍵是空間旋量群是有無限基本群的SO(2)。

這個事實也與紐結理論中著名的辮群有關。在二維中兩個粒子的排列群不再是對稱群${\displaystyle S_{2}}$，而是辮子群${\displaystyle B_{2}}$了。這樣也可以來理解這個問題。

有一種考慮解決量子計算機中的穩定性問題的方法是使用任意子製成的拓撲量子計算機（topological quantum computer）。這種計算機使用准粒子作為線程，使用辮理論來設計穩定的邏輯門^[5][6]。

非阿貝爾任意子

文小剛發現了分數量子霍爾效應自然地給出非阿貝爾任意子。^[7][8] 阿列克謝·基塔耶夫表示了我們可以用非阿貝爾任意子來創造拓撲量子計算機。^{[9][10][11][12]}

參見

拓撲學和量子場論：

• 隨機矩陣
• 陳-西蒙斯理論，這個拓撲量子場論描述分數量子霍爾效應和任意子
• 辮理論
• 金茲堡－朗道方程

超導現象：

• 流量管
• 約瑟夫森效應
• 磁通量量子
• 邁斯納效應

參考資料

1. Leinaas, Jon Magne; Myrheim, Jan. On the theory of identical particles (PDF). Il Nuovo Cimento B. 1977-01-11, 37 (1): 1–23 [2018-11-25]. Bibcode:1977NCimB..37....1L. doi:10.1007/BF02727953. （原始內容存檔 (PDF)於2020-12-24）.
2. Wilczek, Frank. Quantum Mechanics of Fractional-Spin Particles (PDF). Physical Review Letters. 4 October 1982, 49 (14): 957–959 [2018-11-25]. Bibcode:1982PhRvL..49..957W. doi:10.1103/PhysRevLett.49.957. （原始內容存檔 (PDF)於2020-09-22）.
3. Lancaster, Tom,. Quantum field theory for the gifted amateur. First edition. Oxford https://www.worldcat.org/oclc/859651399. ISBN 0-19-969933-X. OCLC 859651399. 缺少或|title=為空 (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
4. Khare, Avinash. Fractional statistics and quantum theory. Singapore: World Scientific https://www.worldcat.org/oclc/84691757. 2005. ISBN 978-981-256-160-2. OCLC 84691757. 缺少或|title=為空 (幫助)
5. Freedman, Michael; Alexei Kitaev; Michael Larsen; Zhenghan Wang. Topological Quantum Computation. Bulletin of the American Mathematical Society. 2002-10-20, 40 (1): 31–38. arXiv:quant-ph/0101025 . doi:10.1090/S0273-0979-02-00964-3.
6. Monroe, Don. Anyons: The breakthrough quantum computing needs?. New Scientist. 1 October 2008, (2676) [2018-11-25]. （原始內容存檔於2008-10-10）.
7. Moore, Gregory; Read, Nicholas. Nonabelions in the fractional quantum hall effect. Nuclear Physics B. 1991-08, 360 (2-3): 362–396 [2020-01-30]. doi:10.1016/0550-3213(91)90407-O. （原始內容存檔於2020-09-17） （英語）.
8. Wen, X. G. Non-Abelian statistics in the fractional quantum Hall states. Physical Review Letters. 1991-02-11, 66 (6): 802–805. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.66.802 （英語）.
9. Stern, Ady. Non-Abelian states of matter. Nature. 2010-03, 464 (7286): 187–193 [2020-01-30]. ISSN 0028-0836. doi:10.1038/nature08915. （原始內容存檔於2022-04-19） （英語）.
10. An, Sanghun; Jiang, P.; Choi, H.; Kang, W.; Simon, S. H.; Pfeiffer, L. N.; West, K. W.; Baldwin, K. W. Braiding of Abelian and Non-Abelian Anyons in the Fractional Quantum Hall Effect. arXiv:1112.3400 [cond-mat]. 2011-12-14 [2020-01-30]. （原始內容存檔於2020-11-11）.
11. Willett, R. L.; Nayak, C.; Shtengel, K.; Pfeiffer, L. N.; West, K. W. Magnetic field-tuned Aharonov-Bohm oscillations and evidence for non-Abelian anyons at v=5/2. Physical Review Letters. 2013-10-28, 111 (18): 186401 [2020-01-30]. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.111.186401. （原始內容存檔於2019-03-05）.
12. von Keyserlingk, C. W.; Simon, S. H.; Rosenow, Bernd. Enhanced bulk-edge Coulomb coupling in Fractional Fabry-Perot interferometers. Physical Review Letters. 2015-09-18, 115 (12): 126807. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.115.126807.

外部連結

• 對Frank Wilczek的採訪