五複合正四面體

在幾何學中，五複合正四面體是一種由五個正四面體組合成的幾何圖形^[3]，屬於星形二十面體^[4]，也是唯一五種正複合體之一^[5]，其索引編號為UC₅。溫尼爾在他的書中列出了許多星形多面體模型，其中也收錄了五複合正四面體，並將之給予編號W₂₄^[6]。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體》中，編號為47^[7]，但這個多面體最早是由埃德蒙·赫斯在1876年發現並描述的。

五複合正四面體

（點選檢視旋轉模型）
類別	複合正多面體 星形二十面體
對偶多面體	五複合正四面體
識別
名稱	五複合正四面體
參考索引	UC5, W24
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	{5,3}[5{3,3}] {3,5}[2]
性質
體	5
面	20
邊	30
頂點	20
歐拉特徵數	F=20, E=30, V=20 （χ=10）
組成與佈局
複合幾何體數量	5
複合幾何體種類	5個正四面體
面的種類	20個正三角形
對稱性
對稱群	手性（英語：Chirality (mathematics)）二十面體群（英語：Icosahedral symmetry） (I)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	手性（英語：Chirality (mathematics)）四面體群（英語：Tetrahedral symmetry） (T)
圖像
星狀圖（英語：Stellation_diagram） 星狀（英語：Stellation）核 凸包 正二十面體 正十二面體
閱 論 編

性質

五複合正四面體為五個正四面體組合成的形狀，由於沒有頂點共用的情況，因此其邊、面和頂點的數量為正四面體的5倍，共有20個面、30條邊和20個頂點。

結構

五複合正四面體可以視為正十二面體刻面（英語：faceting）後的多面體，在正十二面體凸包中每個正四面體定位在12個頂點中的其中4個頂點。也因此，正十二面體有相同的頂點佈局（英語：Vertex arrangement）。^[8]

實體的五複合正四面體的旋轉模型

五複合正四面體可以透過將正四面體置於旋轉的二十面體群（英語：Icosahedral symmetry） (I)構造

其也可以利用20組3個凹五邊形組合起來構造，如上圖。這種凹五邊形有三種邊長，其中有兩組等長邊，較長的等長邊長度為黃金比例倒數的根號2倍，為${\displaystyle {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}}$，較短的等長邊長度為黃金比例平方的倒數，為${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$，另外一邊長度為黃金比例平方倒數的根號2倍，${\displaystyle {\sqrt {7-3{\sqrt {5}}}}}$。這種方法由溫尼爾提出^[10]。

這種形狀也正是每個正四面體露出來的部分。

球面鑲嵌

透明的模型 (旋轉模型)

五個互交叉的四面體

頂點座標

由於五複合正四面體可以看作是在正十二面體中嵌入正四面體，因此其頂點座標與正十二面體相同：

(±1, ±1, ±1)、

(0, ±1/ϕ, ±ϕ)、

(±1/ϕ, ±ϕ, 0)、

(±ϕ, 0, ±1/ϕ)。

其中ϕ = 1 + √5/2為黃金比例。

作為星形多面體

五複合正四面體是一種星形二十面體，其星狀核為正二十面體、凸包為正十二面體，在杜·瓦爾記號（英語：Patrick du Val）中以Ef₁d表示。

星狀圖（英語：Stellation diagram）	星形	星狀核	凸包
		正二十面體	正十二面體

其他的五複合正四面體

• 
  琳弦締吉（Linkshändige）的版本
• 
  雷克弦締吉（Rechtshändige）的版本

相關多面體

五複合正四面體與其手性鏡像可組合出十複合正四面體，也就是說十複合正四面體可以看作是兩個五複合正四面體的複合體^[11]。

參見

• 正四面體
• 十複合正四面體

參考文獻

1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

1. H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
2. Regular Polytopes (1973)^[1], p.98
3. Wang, P. Portfolio : Renderings:. 加利福尼亞理工學院 計算機科學組. [2016-09-01]. （原始內容存檔於1999-09-13）. Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra.
4. Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
5. Regular Polytopes (1973)^[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
6. Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
7. H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.
8. Compound of Five Tetrahedra. 國立清華大學. [2017-02-28]. （原始內容存檔於2017-03-01）.
9. Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. ISBN 978-0906212202
10. advocated by Wenninger, 1989^[9]pp. 44
11. Cundy and Rollett, 1989^[9] pp. 139-141

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 五複合正四面體. MathWorld.