三階六邊形鑲嵌蜂巢體

在雙曲幾何學中，三階六邊形鑲嵌蜂巢體又稱三階六邊形鑲嵌堆砌，是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，是十一種三維仿緊正雙曲密鋪之一^[1]，由正六邊形鑲嵌的胞組成。由於其胞為一種無限面體，因此該幾何結構為仿緊空間。

三階六邊形鑲嵌蜂巢體
類型	雙曲正堆砌
家族	堆砌
維度	三維雙曲空間
對偶多胞形	六階四面體堆砌
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	↔ ↔ ↔ ↔
施萊夫利符號	{6,3,3} t{3,6,3} 2t{6,3,6} 2t{6,3[3]} t{3[3,3]}
性質
胞	{6,3}
面	{6}
組成與佈局
頂點圖	{3,3}
對稱性
對稱群	${\displaystyle {\bar {V}}_{3}}$, [6,3,3] ${\displaystyle {\bar {Y}}_{3}}$, [3,6,3] ${\displaystyle {\bar {Z}}_{3}}$, [6,3,6] ${\displaystyle {\bar {VP}}_{3}}$, [6,3[3]] ${\displaystyle {\bar {PP}}_{3}}$, [3[3,3]]
特性
正
閱 論 編

1 sources

性質

三階六邊形鑲嵌蜂巢體由無限多個正六邊形鑲嵌胞組成，每條稜都是三個正六邊形鑲嵌的公共稜，每個正六邊形鑲嵌胞的頂點都落在雙曲極限球（英語：Horosphere）（雙曲三維極限圓（英語：Horocycle））上。三階六邊形鑲嵌蜂巢體的頂點圖為正四面體，代表著三階六邊形鑲嵌蜂巢體的每個頂點都是4個正六邊形鑲嵌的公共頂點。

三階六邊形鑲嵌蜂巢體在施萊夫利符號計為 {6,3,3} ，其中 {6,3} 正六邊形鑲嵌，加一個3表示每條稜都是三個正六邊形鑲嵌的公共邊。其頂點圖為 {3,3} 正四面體^[3]。

2 sources

圖像

這個圖像是一個三階六邊形鑲嵌蜂巢體龐加萊模型的外視角，其顯示了蜂巢體中的一個六邊形鑲嵌胞，其半徑與極限球（英語：horosphere）相同。在這個投影圖上，無限延伸的六邊形朝向一個理想點不斷趨近。

{6,3,3}	{∞,3}
蜂巢體中的其中一個六邊形鑲嵌胞	三階無限邊形鑲嵌中的無限邊形（綠色）及其外接圓極限圓（英語：horocycle）。

相關多胞體與堆砌

三階六邊形鑲嵌蜂巢體是十一種三維仿緊正雙曲密鋪之一，其他十種三維仿緊正雙曲密鋪為：

十一種三維仿緊正雙曲密鋪
{6,3,3} （鑲嵌蜂巢體）	{6,3,4}（英語：Order-4 hexagonal tiling honeycomb） （鑲嵌蜂巢體）	{6,3,5}（英語：Order-5 hexagonal tiling honeycomb） （鑲嵌蜂巢體）	{6,3,6}（英語：order-6 hexagonal tiling honeycomb） （鑲嵌蜂巢體）	{4,4,3}（英語：Square tiling honeycomb） （鑲嵌蜂巢體）	{4,4,4}（英語：Order-4_square_tiling_honeycomb） （鑲嵌蜂巢體）
{3,3,6} （多面體堆砌）	{4,3,6}（英語：order-6 cubic honeycomb） （多面體堆砌）	{5,3,6}（英語：Order-6 dodecahedral honeycomb） （多面體堆砌）	{3,6,3}（英語：Triangular tiling honeycomb） （鑲嵌蜂巢體）	{3,4,4}（英語：Order-4 octahedral honeycomb） （鑲嵌蜂巢體）

參考文獻

1. Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2nd edition ISBN 0-8247-0709-5 (Chapters 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II)
2. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups (1999), Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [1]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） [2]
3. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups, (2002) H³: p130. [3]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

1. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
2. The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications,

   LCCN 99-35678

   , ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space) Table III
3. Coxeter The Beauty of Geometry, 1999,^[2], Chapter 10, Table III