三角平方數

三角平方數是既是三角形數，又是平方數的數。三角平方數有無限個，可以由以下公式求得：

${\displaystyle N_{k}={1 \over 32}\left[\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right]^{2}}$

找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成佩爾方程。每個平方數的形式為${\displaystyle m^{2}}$，三角形數的則為${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$。於是求n, m使得：

${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}=m^{2}}$

${\displaystyle n(n-1)=2m^{2}}$

${\displaystyle n^{2}-n+{\frac {1}{4}}=2m^{2}+{\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle 4n^{2}-4n+1=8m^{2}+1}$

${\displaystyle (2n-1)^{2}=8m^{2}+1}$

設${\displaystyle k=2n-1}$，${\displaystyle p=2m}$，代入之，得方程${\displaystyle k^{2}=2p^{2}+1}$。

第${\displaystyle k}$個三角平方數${\displaystyle N}$等於第${\displaystyle s}$個平方數及第${\displaystyle t}$個三角形數，它們的關係為

${\displaystyle s(N)={\sqrt {N}}}$

${\displaystyle t(N)=\lfloor {\sqrt {2N}}\rfloor }$

${\displaystyle t}$可以由下面的方式得出：

${\displaystyle t(N_{k})={1 \over 4}\left\{\left[\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{k}\right]^{2}-\left[1+(-1)^{k}\right]^{2}\right\}}$

${\displaystyle N}$亦可用遞歸的方式求得：

${\displaystyle N_{0}=0}$

${\displaystyle N_{1}=1}$

${\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2}$

當${\displaystyle k}$越大，${\displaystyle {\tfrac {t}{s}}}$就會趨近${\displaystyle {\sqrt {2}}}$：

${\displaystyle {\begin{matrix}N=1&s=1&t=1&{\frac {t}{s}}=1\\N=36&s=6&t=8&{\frac {t}{s}}=1.3333333\\N=1225&s=35&t=49&{\frac {t}{s}}=1.4\\N=41616&s=204&t=288&{\frac {t}{s}}=1.4117647\\N=1,413,721&s=1189&t=1681&{\frac {t}{s}}=1.4137931\\N=48,024,900&s=6930&t=9800&{\frac {t}{s}}=1.4141414\\N=1,631,432,881&s=40391&t=57121&{\frac {t}{s}}=1.4142011\end{matrix}}}$

它們實際上是「為偶數的佩爾數」的一半再平方的值。

相關問題

大衛·蓋爾曾提出一條問題：求對於哪些n，使得1,2,3,4...,n這個數列中，存在一個數s，在s之前的數之和跟在s之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是這樣的一個數，1+2+3+4+5=7+8

解答： 根據題意列方程，得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2 s² = n(n+1)/2

當第n個三角形數是平方數時，就符合題目的條件。（參考：Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)）

參考

• Triangular numbers that are also square（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.