Delta位勢壘

在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

定義

對於一個Delta位勢壘的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \hbar \,\!}$是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$是粒子質量，${\displaystyle x\,\!}$是粒子位置，${\displaystyle E\,\!}$是能量，${\displaystyle \psi (x)\,\!}$是波函數，${\displaystyle V(x)\,\!}$是位勢，表達為

${\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta (x)\,\!}$是狄拉克Delta函數，${\displaystyle \lambda \,\!}$是狄拉克Delta函數的強度。

導引

這位勢壘將一維空間分為兩個區域：${\displaystyle x<0\,\!}$與${\displaystyle x>0\,\!}$。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

${\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!}$；

其中，${\displaystyle A_{r}\,\!}$、${\displaystyle A_{l}\,\!}$、${\displaystyle B_{r}\,\!}$、${\displaystyle B_{l}\,\!}$都是必須由邊界條件決定的常數，下標${\displaystyle r\,\!}$與${\displaystyle l\,\!}$分別標記波函數往右或往左的方向。${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!}$是波數。

由於${\displaystyle E>0\,\!}$，${\displaystyle \psi _{L}\,\!}$與${\displaystyle \psi _{R}\,\!}$都是行進波。這兩個波必須滿足在${\displaystyle x=0\,\!}$的邊界條件：

${\displaystyle \psi _{L}=\psi _{R}\,\!}$，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在${\displaystyle x=0\,\!}$並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有${\displaystyle -{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於${\displaystyle x=0\,\!}$的一個非常小的鄰域：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!}$；(1)

其中，${\displaystyle \epsilon \,\!}$是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

${\displaystyle E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!}$。(2)

在${\displaystyle \epsilon \to 0\,\!}$的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!}$(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，

${\displaystyle \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!}$。(4)

而在${\displaystyle \epsilon \to 0\,\!}$的極限，

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!}$，(5)

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!}$。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在${\displaystyle x=0\,\!}$，

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!}$，

${\displaystyle ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!}$。

反射與透射

一個Delta位勢壘的反射係數${\displaystyle R\,\!}$（用紅線表示）與透射係數${\displaystyle T\,\!}$（用綠線表示）隨著能量${\displaystyle E\,\!}$的變化。在這裏，能量${\displaystyle E>0\,\!}$。能量的單位是${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\,\!}$。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，${\displaystyle x<0\,\!}$或${\displaystyle x>0\,\!}$。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定${\displaystyle A_{r}=1\,\!}$，${\displaystyle A_{l}=r\,\!}$，${\displaystyle B_{l}=0\,\!}$，${\displaystyle B_{r}=t\,\!}$。求算反射的機率幅${\displaystyle r\,\!}$與透射的機率幅${\displaystyle t\,\!}$：

${\displaystyle r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}\,\!}$，

${\displaystyle t={\cfrac {1}{{\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!}$。

反射係數是

${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!}$。

透射係數是

${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!}$。

這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

• 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
• 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• 量子穿隧效應