雞兔同籠

雞兔同籠問題是中國古代一道算術問題，最早可以追溯至南北朝時期的數學著作《孫子算經》，屬於一次方程組問題。

雞兔同籠

雞兔同籠類似的問題第一次出現是在《孫子算經》的下卷中的一道算題：

今有雞、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？

用現代漢語表示，就是：「現在籠子裡有雞（雉）和兔子在一起。從上面數一共有三十五個頭，從下面數一共有九十四隻腳，問一共有多少隻雞、多少隻兔子？」

在同一本書中也記載了解法：

上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七。以少減多。

也就是說，將腳的總數九十四除以二得到四十七，然後減去頭數三十五就得到兔子的數目，然後自然可以得到雞的數目。

原理

《孫子算經》中的解法思路是：首先將所有動物的腳數除以二，這樣每隻雞將僅有一隻腳，每隻兔子將僅有兩隻腳。這樣，雞的腳數和頭數一樣，而每隻兔的腳數比頭數多一。如果所有的動物都是雞的話，那麼將僅有三十五隻腳了，但事實上有四十七隻腳。而每將一隻雞換成一隻兔子的話，就會使得腳的數目增加一。於是用四十七減去三十五，就可以知道有多少只雞被換成了兔子（也就是兔子的數目）。答案是十二隻。

假設法：35頭說明雞和兔共35隻，假設35隻全為雞，則應有(35×2)=70隻足，實則94隻足，還差94-70=24隻足，兔子4隻足，雞2隻足，一隻雞換成一隻兔子可以補上2隻足，現需補上24隻足，也就是需雞換兔24÷2=12隻，隻數不變，足補齊94隻，即兔子12隻，雞23隻，實際上這其實是二元一次聯立方程式用消元求法求X的方法。

以代數方式計算

總數為兔子（x）和雞（y）的頭數相加共35隻。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total}}&=\left\vert {}x\right\vert +\left\vert {}y\right\vert \\&=35\end{aligned}}}$

一隻兔子比一隻雞多兩隻腳：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{{\text{Single }}x{\text{ feet than }}y{\text{ feet}}}&={\text{feet}}_{x}-{\text{feet}}_{y}\\&=4-2\\&=2\end{aligned}}}$

若全部是雞的話，極限會有70隻腳。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma _{i=1}^{35}{\text{feet}}_{y}&=2\times {}35\\&=70\end{aligned}}}$

事實上多出了24隻兔腳。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{{\text{Total feet than max }}y{\text{ feet}}}&=\Sigma _{i=1}^{35}{\text{feet}}-\Sigma _{i=1}^{35}{\text{feet}}_{y}\\&=94-70\\&=24\end{aligned}}}$

24隻兔腳代表其中有12隻雞是兔子偽裝的，所以兔子是12隻。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\Delta _{{\text{Total feet than max }}y{\text{ feet}}}}{\Delta _{{\text{Single }}x{\text{ feet than }}y{\text{ feet}}}}}\\&={\frac {24}{2}}\\&=12\end{aligned}}}$

兔子有12隻，那雞就有23隻。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&={\text{Total}}-x\\&=35-12\\&=23\end{aligned}}}$

參考來源

• （唐）李淳風等注釋. 《孙子算经》. 中國國家圖書館出版社. ISBN 7-5013-2631-2.
• 趙良五、陳立夫. 《中西數學史的比較》. 台灣商務印書館. 1995. ISBN 9570502681.
• 李儼; 錢寶琮. 《李俨钱宝琮科学史全集 第5卷 中国数学史》. 遼寧教育出版社. 1998. ISBN 7-5382-4807-2.
• 李兆華. 《中國數學史》. 文津出版社. 1995. ISBN 978-9-576-68202-5.