在數學中,魏爾斯特拉斯橢圓函數(Weierstrass's elliptic functions)又稱 p 函數並且以
符號表示,是格外簡單的一類橢圓函數,也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。
固定
中的格
(
在
上線性無關),對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是
。
顯然右式只與格
相關,無關於基
之選取。
的元素也稱作週期。
另一方面,格
在取適當的全純同態
後可表成
,其中
屬於上半平面。對於這種形式的格,
。
反之,由此亦可導出對一般的格之公式
![{\displaystyle \wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4697dfe85bc4108cc86b62207e31ac3a0723d42)
在數值計算方面,
可以由Θ函數快速地計算,方程是
![{\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f9c99244c5b95e7970a8b9d7ae2df3c3a2f432)
- 在週期格中的每個點,
有二階極點。
是偶函數。
- 複導函數
是奇函數。
續用上節符號,模判別式
定義為下述函數
![{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75aea810f524692943a624bb693bea38b79ab402)
視為週期格的函數,這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。
- Stein. Complex Analysis.
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
- K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21