量子統計力學中,馮紐曼熵(英語:von Neumann entropy)是經典體系吉布士熵概念的拓展延伸。體系的馮紐曼熵為
![{\displaystyle S{\dot {=}}-\mathrm {Tr} (\rho \ln \rho ),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d8f32373e82dd0c38faa233a436b96e4be5ba2)
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其中Tr表示求跡,
是體系的密度矩陣。
運用密度矩陣的本徵態向量分解表示
![{\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c470ace39583313a2ae11ad4e90a7d9426c7e99)
可以得到:
![{\displaystyle S=-\sum _{i}w_{i}\ln w_{i}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bdb223179afe3ace297c2a5afc92e7cd532818)
性質
馮紐曼熵有下列性質:
代表純態;
代表最大混合態,就是所有的
都等於
,其中
是希爾伯特空間的維數;
- 對密度矩陣作酉變換,
不變。
- 馮紐曼熵是密度矩陣的上凸函數:
![{\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\geq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i}),\qquad \forall \lambda _{i}\geq 0,\sum _{i}\lambda _{i}=1;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6779211502a282c53c1a535f2cde18359092aea5)
- 馮紐曼熵對獨立體系有加和性,就是:如果
和
是兩個獨立的體系,這樣
![{\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edc45c5dbad07eab2a1a2b7a956281b3dae6479)