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將某數除以0的運算 来自维基百科,自由的百科全书
在數學中,被除數的除數(分母)是零或將某數除以零,可表達為,是被除數。在算式中沒有意義,因為沒有數目,以零相乘(假設),由於任何數字乘以零均等於零,因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中,此式為無意義。在程序設計中,當遇上正整數除以零程序會中止,正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況,而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中,除以零會直接顯示#DIV/0! 。
基本算術中,除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如,個蘋果平分給人,每人可得個蘋果。同理,個蘋果只分給人,則其可獨得個蘋果。
若除以又如何?若有顆蘋果,無人(解作沒有)來分,每「人」可得多少蘋果?問題本身是無意義的,因根本無人來,論每「人」可得多少,根本多餘。因此,,在基本算術中,是無意義或未下定義的。
另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「除以」,換一種說法,減去兩個,餘下,即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數,算式為餘數。若某數除以零,就算不斷減去零,餘數也不可能小於除數,使得算式與無窮拉上關係,超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題,即為無窮大乘以零仍是零。
婆羅摩笈多(598–668年)的著作《婆羅摩曆算書》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確,根據婆羅摩笈多所說,
“ | 一個正或負整數除以零,成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。 | ” |
830年,另一位數學家摩訶吠羅在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤,但不成功:
“ | 一數字除以零會維持不變。 | ” |
婆什迦羅第二嘗試解決此問題,答案是讓。雖然此定義有一定道理,但會導致一個悖論:的結果可以是任意一個數,所以所有的數都是相同的。[1]
在微積分和數學分析中,像或這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的,結果可能是任意數。
若某數學系統遵從域的公理,則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作,即值是方程中的解(若有的話)。若設,方程式可寫成或直接。因此,方程式沒有解(當時),但是任何數值也可解此方程(當時)。在各自情況下均沒有獨一無二的數值,所以未能下定義。
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明:
式:
試:
得出:
除以零得出
簡化,得出:
以上謬論假設,某數除以0是容許的,並且。
另一個簡潔的證明
設,則兩邊同時減去,由平方差公式得兩邊除以,故。 |
通過上面的過程,證明了一切數字等於。此謬論是由於簡化的過程不正確,計算過程使用了「除以零」。
因為是零,所以不能夠把左右兩邊的刪去。
表面看來,可以藉着考慮隨着趨向的來定義「除以零」。
對於任何正數,右極限是
另一方面,左極限是
由於左極限及右極限不相同,因此函數在的極限不存在,該點沒有定義。同樣地,若是負數,極限也不存在。
如果分子及分母均為零或趨向零,則可使用洛必達法則計算。
不定型(Indeterminate Form)的極限可透過四則運算或洛必達法則計算。
考慮函數
如果直接代入,會得到零除以零,這是沒有意義的。
但透過約簡分子及分母,該點的極限是可以計算的。
此外,函數的極限可透過洛必達法則計算。
若隨着趨向,與均趨向,該極限可等於任何實數或無限,或者根本不存在,視乎及是何函數。
運用形式推算,正號、負號或沒有正負號因情況而定,除以零定義為:
在計算機中,除以零的結果根據編程語言、軟硬件環境、數據類型、數值而不同。部分語言中,無論是整數還是浮點數,除以0均會產生異常,而在另一部分語言中,整數除以零會產生異常或未定義行為,而浮點數除以零的結果如下:
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