不連續點

此條目介紹的是實變函數的不連續點的分類。關於複變函數的奇點的分類，請見「奇點_(數學)」。

不連續點，又稱間斷點，分段點（英語：Discontinuities），通常是在單變數實變函數的環境下討論。令${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ,~f:E\to \mathbb {R} }$，且若${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$(不一定要在${\displaystyle E}$中)，若${\displaystyle f}$在${\displaystyle c}$不連續，則稱${\displaystyle f}$在那裡有個不連續點、${\displaystyle c}$為一個${\displaystyle f}$的不連續點。

分類

根據不同不連續點的性質，通常把不連續點分為兩類：

1. 第一類不連續點：
   1. 可去不連續點：不連續點兩側函數的極限存在且相等 。
   2. 跳躍不連續點：不連續點兩側函數的極限存在，但不相等；
2. 第二類不連續點：

不屬於第一類不連續點的任何一種不連續點都屬於第二類不連續點。第二類不連續點可以進一步分為無窮不連續點和震盪不連續點。

例子

可去不連續點

1. 考慮以下函數：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

點${\displaystyle x_{0}=1}$是可去不連續點。

跳躍不連續點

2. 考慮以下函數：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

點${\displaystyle x_{0}=1}$是跳躍不連續點。

第二類不連續點

3. 考慮以下函數：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

點${\displaystyle x_{0}=1}$是第二類不連續點，又稱本性不連續點。

外部連結

• Discontinuous. PlanetMath.
• "Discontinuity" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• 埃里克·韋斯坦因. Discontinuity. MathWorld.