引力勢能

引力位能是指物體因為大質量物體的萬有引力而具有的位能，其大小與其到大質量的距離有關。

提示：此條目頁的主題不是勢能。

${\displaystyle E_{p}=-{\frac {GMm}{r}}}$

其中${\displaystyle G}$為萬有引力常數，${\displaystyle M}$、${\displaystyle m}$分別為兩物體質量，${\displaystyle r}$為兩者距離。

依據古典力學，在兩個或更多的質量之間存在著引力位能。能量守恆要求這種重力位能永遠是負值^[1]。

證明

一天體${\displaystyle m}$在中心天體${\displaystyle M}$的引力作用下由無窮遠處勻速運動至某位置${\displaystyle A}$點。要使${\displaystyle m}$受引力作用但仍保持勻速運動，${\displaystyle m}$上必須有一個與引力等大小但反向的外力，此外力所做的功${\displaystyle W}$定義為引力勢能。

${\displaystyle m}$從無窮遠處移動至${\displaystyle A}$的過程中，${\displaystyle M}$與${\displaystyle m}$的間距不斷減小，萬有引力和外力不斷增大，是變力。處理變力做功問題，需要藉助積分。

設${\displaystyle A}$點與${\displaystyle M}$質心相距${\displaystyle r_{A}}$。先關注微元，再整體思考，可得

${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=\left|{\vec {F}}\right|\left|{\vec {x}}\right|\cos <{\vec {F}},{\vec {x}}>}$

${\displaystyle \Longrightarrow {\rm {d}}W={\frac {GMm}{r^{2}}}\cdot {\rm {d}}r\cdot \cos 0}$ ^[2]

${\displaystyle W=\int _{\infty }^{r_{A}}{\frac {GMm}{r^{2}}}{\rm {d}}r}$

${\displaystyle W=-{\frac {GMm}{r_{A}}}}$

即 ${\displaystyle E_{p}=-{\frac {GMm}{r_{A}}}}$

廣義相對論

在廣義相對論，引力位能被塑造成藍道-利夫希茨贗張量（英語：Landau-Lifshitz pseudotensor）^[3]，以允許古典力學的守恆定律能夠獲得保留。加上物質的應力-能量張量至藍道-利夫希茨贗張量的結果是結合了物質和重力能贗張量導致散度為零的發散。有些人反對在基礎上做如此的延伸，認為這樣做在廣義相對論中是不適當的，這是只是守恆律的需要所衍生的用途，在這樣的情況下只是贗張量和真張量的結合。

參考資料

1. Alan Guth The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (1997), Random House , ISBN 0-224-04448-6 Appendix A: Gravitational Energy demonstrates the negativity of gravitational energy.
2. 引力势能公式是如何推出来的？ - 知乎. www.zhihu.com. [2024-02-07].
3. Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7