單調函數

在數學中，給定函數定義域，當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是小於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調增加函數。當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是大於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數。單調增加函數和單調減少函數統稱單調函數。^[1]

單調非遞減函數。

單調非遞增函數。

非單調函數。

這個概念最先出現在微積分中，後來推廣到序理論中更加抽象結構中。儘管概念一般是一致的，兩個學科已經發展出稍微不同的術語。在微積分中，我們經常說函數是單調遞增和單調遞減的，在序理論中偏好術語單調、反單調或序保持、序反轉。

一般定義

設

${\displaystyle f:P\longrightarrow Q}$

是在兩個帶有偏序≤的集合${\displaystyle P}$和${\displaystyle Q}$之間的函數。在微積分中，它們是帶有平常次序的實數集的子集之間的函數，但是定義仍保持同更一般的序理論定義一樣。

函數${\displaystyle f}$是單調的，如果只要${\displaystyle x\leq y}$，則${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$。因此單調函數保持次序關係。

微積分和實分析中的單調性

在微積分中，經常不需要訴諸序理論的抽象方法。如上所述，函數通常是按自然次序排序的實數集的子集之間的映射。

受在實數上的單調函數的圖的形狀的啟發，這種函數也叫做單調遞增的（或"非遞減"的）。類似的，函數叫做單調遞減的（或"非遞增"的），如果只要${\displaystyle x<y}$，則${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$，就說它反轉了次序。

如果把定義中的次序≥替換為嚴格次序>，則得到了更嚴格的要求。有這樣性質的函數叫做嚴格遞增的^[2]。還有通過反轉序符號，可以得到對應的嚴格遞減。嚴格遞增或遞減的函數是一一映射（因為${\displaystyle a<b}$蘊涵${\displaystyle a\neq b}$）。

要避免把術語非遞減和非遞增混淆於嚴格遞增和嚴格遞減。

序理論中的單調性

在序理論中，不限制於實數集合，可以考慮任意偏序集合甚至是預序集合。在這些情況下上述定義同樣適用。但是要避免術語「遞增」和「遞減」，因為一旦處理的不是全序的次序就沒有了吸引人的圖像動機。進一步的，嚴格關係<和>在多數非全序的次序中很少使用，因此不介入它們的額外術語。

單調（monotone）函數也叫做isotone或序保持函數。對偶概念經常叫做反單調、antitone或序反轉。因此，反單調函數f滿足性質

${\displaystyle x\leq y}$蘊涵${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$，對於它的定義域中的所有${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$。容易看出兩個單調函數的複合也是單調的。

常數函數是單調的也是反單調的；反過來，如果${\displaystyle f}$是單調的也是反單調的，並且如果${\displaystyle f}$的定義域是格，則${\displaystyle f}$必定是常量函數。

單調函數是序理論的中心。它們大量出現於這個主題的文章和在這些地方的找到的應用中。著名的特殊單調函數是序嵌入（${\displaystyle x\leq y}$當且僅當${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$的函數）和序同構（雙射序嵌入）。

參考文獻

1. 張耀梓，鄭仲三主編. 微积分学. 天津大學出版社. 1993-08: 第14頁. ISBN 7561805063.
2. 常庚哲,史濟懷. 数学分析教程 上册. 中國科學技術大學出版社. 2012: 66. ISBN 9787312030093.

• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas. Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. 2001. ISBN 0719033411.