軌形
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拓撲學與幾何學中,軌形(orbifold,「有軌的流形」)是對流形的推廣。粗略地說,軌形是局部為歐氏空間的有限群商的拓撲空間。
這術語的來源不該歸在我身上。它是我在1976-77年的課程中通過民主程序獲得的。軌形是有很多「折」(fold)的東西,但是「manifold」(流行)已經占了一個位置。我試着用「foldamani」,但很快被「manifolded」取代了。我每次都耐心地說「不,不是流形,是『死流形』(manifoldead)」,兩個月後我們搞了一次投票,「軌形」(orbifold)獲勝了。
Thurston (1978–1981, p. 300,section 13.2)解釋了「軌形」(orbifold)的起源軌形的定義已出現過好幾次:1950年代佐武一郎在研究自守形式時將其命名為「V-流形」;[1]1970年代,威廉·瑟斯頓在研究3-流形的幾何時[2],經過與學生的投票將其命名為「軌形」;1980年代,André Haefliger在研究米哈伊爾·格羅莫夫的CAT(k)空間綱領時將其命名為「軌邊形」(orbihedron)。[3]
歷史上,早在正式定義出現前,軌形首先是作為具有奇點的曲面出現的。[4]最早的經典例子之一出現在模形式理論中,[5]模群對上半平面的作用:對商添加2個軌形尖點、實現緊化後,可得到黎曼–羅赫定理的一種表述。3-流形理論中,赫伯特·塞弗特提出的塞弗特纖維空間理論可用2維軌形表述。[6]幾何群論中,後格羅莫夫時期的離散群是根據「軌邊形」(orbihedron)及其覆疊空間的局部曲率特性來研究的。[7]
弦論中,「軌形」的含義略有不同。[8]下詳。二維共形場論中,「軌形」指頂點代數在自同構的有限群作用下附着於定點的子代數。
底空間的主要例子是流形在具有迷向有限子群的微分同胚(可能無限)群的純不連續作用下的商空間。[9]這尤其適於有限群的任何作用,於是有界流形帶有自然的軌形結構,因為它是自身的雙倍對作用的商。
拓撲空間可攜帶不同的軌形結構。例如,考慮與沿旋轉的圓的商空間相關聯的軌形O,其與圓同胚,但自然軌形結構不同。可將流形的大部分特徵直接推廣到軌形,而它們通常不同於底空間的相應特徵。上述例子中,O的軌形基本群是
,其軌形歐拉示性數為1。