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代數擴張(英語:Algebraic extension)是抽象代數中域擴張的一類。一個域擴張L/K被稱作代數擴張,若且唯若L中的每個元素都是某個以K中元素為係數的非零多項式的根。反之則稱之為超越擴張。最簡單的代數擴張例子有:、。
代數擴張的基礎是代數元的概念。給定域擴張L/K,L某個元素如果是一個以K中元素為係數的非零多項式的根,則稱其為K上的代數元。如果L中所有元素都是K上的代數元,就稱域擴張L/K為代數擴張。
設有域擴張L/K,L可以看作是K上的向量空間,將其維度稱作這個擴張的次數,記作[L:K]。有限次數的擴張(簡稱有限擴張)都是代數擴張;反之,給定一個代數擴張L/K,則L裡的任一元素α生成的子擴張K(α)/K都是K的有限擴張。但代數擴張本身並不一定是有限擴張,一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。
在一個代數擴張L/K中,L中的每個元素α都是某個以K中元素為係數的多項式(以下簡稱K-多項式,所有K-多項式的集合記作K[X])f的根。所有以α為根的K-多項式中次數最低者稱作α的極小多項式(通常要求其為首一多項式,即最高次項係數等於一,以保證唯一性)。極小多項式總是不可約多項式。
若K-多項式f不可約,則商環L := K[X]/( f )是K的一個域擴張,它的次數[L : K] = deg(f),而且不定元X在商環中的像是在f的一個在L中的根,其極小多項式正是f。通過這種構造,我們可抽象地加入某個多項式的根。例如就是在實數域中添加了虛數單位i得到的擴域:複數域。
給定域擴張L/K,如果K-多項式f可以在L中分解成一次因子的積,則稱f在L中分裂。根據上述構造,總是可以找到一個足夠大的代數擴張K'/K使得f分裂;K'裡滿足此性質的「最小」子擴張稱作f在K上的分裂域。f在K上的任兩個分裂域至多差一個K上的同構(即:一個限制在K上的部分為恆等映射的環同構)。
正規擴張是研究多項式的根時所用到的概念。一個代數擴張L/K被稱作正規擴張,若且唯若它滿足下述三個等價條件之一:
正規擴張可以看作是域擴張語言中對多項式的刻畫。一個正規擴張對應着K[X]里的一個多項式。
設L/K為代數擴張,如果α的極小多項式沒有重根,則稱α可分(重根的存在性與域擴張的選取無關,可分性等價於(f, f' ) = 1,這可以直接在K中計算)。所有可分元素形成一個中間域K⊂F⊂L,[L : K]s := [Ls : K]稱作L/K的可分次數。若Ls = ; L,則稱L/K是可分擴張。
當L/K是有限擴張時,定義不可分次數[L : K]i := [L : K]/[L : K]s。當基域的特徵為零時,任何代數擴張都是可分的;任何有限域的擴張也都是可分的。
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