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超度量空間是一種特殊的度量空間,其中三角不等式用d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}來代替。有時相關的度量也稱為非阿基米德度量或超度量。雖然超度量空間中的一些定理看來奇怪,它們在許多應用中都自然出現。超度量空間在數學上其中一個應用是關於p-進數的研究。
正式地,超度量空間是點M的集合與一個相關的距離函數(又稱為度量):
(其中R是實數集合),使得對於所有M內的x,y和z,都有:
第四個條件可加強為當d(x, y)和d(y, z)不相等時,d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)},原因如下:
首先,可以不失一般性地假定d(x, y) < d(y, z),因此d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}可變為d(x, z) ≤ d(y, z),但另一方面,d(y, z) ≤ max{d(x, y), d(x, z)},由於已經假定d(x, y) < d(y, z)之故,因此顯然max{d(x, y), d(x, z)}不能為d(x, y),因此max{d(x, y), d(x, z)} = d(x, z),所以有d(y, z) ≤ d(x, z),由於d(x, z) ≤ d(y, z)和d(y, z) ≤ d(x, z)兩者皆成立之故,因此有d(x, z) = d(y, z)。因此d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}。
從以上的定義中,我們可以推出超度量空間的一些典型的性質。例如,在超度量空間內,對於所有M內的x,y和z以及R內的所有r和s,都有:
在這裡,(開)球體的概念和記法與度量空間中的球體一樣,也就是說: