費雪變換

費雪變換（英語：Fisher transformation）是統計學中用於相關係數假設檢驗的一種方法。對樣本相關係數進行費雪變換後，可以用來檢驗關於總體相關係數ρ的假設。^[1][2]

費雪變換

定義

已知N組雙變量樣本(X_i, Y_i), i = 1, ..., N，樣本相關係數r為

${\displaystyle r={\frac {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}}}}$

於是，r的費雪變換可定義為

${\displaystyle z:={1 \over 2}\ln \left({1+r \over 1-r}\right)=\operatorname {arctanh} (r).}$

當(X, Y)為二元正態分布且(X_i, Y_i)對相互獨立時，z近似為正態分布。其均值為

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({{1+\rho } \over {1-\rho }}\right),}$

標準差為

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {N-3}}},}$

其中N是樣本大小，ρ是變量X與Y的總體相關係數。

費雪變換及其逆變換

${\displaystyle r={{\exp(2z)-1} \over {\exp(2z)+1}}=\operatorname {tanh} (z),}$

可以用於構造ρ的置信區間。

參考文獻

1. Fisher, R.A. Frequency distribution of the values of the correlation coefficient in samples of an indefinitely large population. Biometrika (Biometrika Trust). 1915, 10 (4): 507–521. JSTOR 2331838. doi:10.2307/2331838.
2. Fisher, R.A. On the `probable error' of a coefficient of correlation deduced from a small sample (PDF). Metron. 1921, 1: 3–32 [2015-09-03]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-02-12）.