在量子物理 中，費米黃金定則 是用來描述受一微擾 後量子系統從某個能量特徵態 到一群連續能態的單位時間的躍遷機率公式。若微擾的強度不隨時間變化，此單位時間躍遷機率亦不隨時間變化，且正比於系統初始態和終末態間的耦合強度（由躍遷的矩陣元 態密度 。若終末態不是連續態的一部分，但這一躍遷過程中存在量子去相干 （例如原子弛豫過程，或微擾中存在噪聲的情形），此定則也可以應用——此時公式中的態密度項應替換為末態去相干頻寬的倒數。
雖然黃金定則以恩里科·費米 的名字命名，但推導該定則所涉大部分工作是由保羅·狄拉克 完成的——他在20年前就推出了包含三項（常數
2
π
ℏ
{\displaystyle {\frac {2\pi }{\hbar }}}
[ 1] [ 2] [ 3]
大多數文獻提及費米黃金定則時，指的是「第二黃金定則」。費米「第一黃金定則」具有與第二定則相似的形式，但前者刻畵的是每秒發生間接躍遷的機率。[ 4]
費米黃金定則描述一個有著未被擾動的哈密頓量 H 0 、處於初始態
|
i
⟩
{\displaystyle |i\rangle }
哈密頓量 H' H' H' 角頻率 ω ħω
在此兩種例子中，從初始態
|
i
⟩
{\displaystyle |i\rangle }
|
f
⟩
{\displaystyle |f\rangle }
Γ
i
→
f
=
2
π
ℏ
|
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
|
2
ρ
(
E
i
)
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{i})}
這裡的
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
{\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }
H' 矩陣元素 狄拉克符號 ），而
ρ
(
E
i
)
{\displaystyle \rho (E_{i})}
E
i
{\displaystyle E_{i}}
態密度 （在無限小的能量區間
E
+
d
E
{\displaystyle E+dE}
平均壽命 的倒數。因此，測得系統處於
|
f
⟩
{\displaystyle |f\rangle }
e
−
Γ
i
→
f
t
{\displaystyle e^{-\Gamma _{i\rightarrow f}t}}
推導公式的標準方法是從含時微擾理論開始，並假設測量時間遠大於實際躍遷所需時間，對吸收率（作爲時間
t
{\displaystyle t}
t
→
∞
{\displaystyle t\rightarrow \infty }
[ 5] [ 6]
More information 和微擾量的和，
以含時微擾理論推導
黃金定則是薛丁格方程式 解哈密頓量最低階微擾H' H0
H
=
H
0
+
H
′
{\displaystyle H=H_{0}+H'}
相互作用繪景 下，我們可以用未微擾的系統
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
H
0
|
n
⟩
=
E
n
|
n
⟩
{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }
被微擾的系統的量子態的級數展開在一時間t
|
ψ
(
t
)
⟩
=
∑
n
a
n
(
t
)
e
−
i
E
n
t
/
ℏ
|
n
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }
an (t )狄拉克繪景 下用來產生機率幅的未知含時函數。此一量子態遵循含時薛丁格方程式:
H
|
ψ
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
.
{\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.}
展開哈密頓量和量子態到一階微擾，
(
H
0
+
H
′
−
i
ℏ
∂
∂
t
)
∑
n
a
n
(
t
)
|
n
⟩
e
−
i
t
E
n
/
ℏ
=
0
,
{\displaystyle \left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}
En |n ⟩ H 0 的特徵值和特徵函數 。
此等式可以被重寫成一個針對
a
n
(
t
)
{\displaystyle a_{n}(t)}
i
ℏ
d
a
k
(
t
)
d
t
=
∑
n
⟨
k
|
H
′
|
n
⟩
a
n
(
t
)
e
i
t
(
E
k
−
E
n
)
/
ℏ
.
{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.}
此等式相當簡潔但實際上無法普通地解開。
對於一個施加在t H'
i
{\displaystyle i}
H
′
=
0
{\displaystyle H'=0}
a
n
(
t
)
=
δ
n
,
i
{\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}
i
{\displaystyle i}
對於
k
≠
i
{\displaystyle k\neq i}
H
′
≠
0
{\displaystyle H'\neq 0}
a
k
(
t
)
≠
0
{\displaystyle a_{k}(t)\neq 0}
a
n
(
t
)
=
δ
n
,
i
{\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}
a
k
(
t
)
{\displaystyle a_{k}(t)}
i
ℏ
d
a
k
(
t
)
d
t
=
⟨
k
|
H
′
|
i
⟩
e
i
t
(
E
k
−
E
i
)
/
ℏ
,
{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },}
經過積分後，
i
ℏ
a
k
(
t
)
=
2
⟨
k
|
H
′
|
i
⟩
e
i
ω
t
/
2
sin
ω
t
/
2
ω
{\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=2\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t/2}{\frac {\sin \omega t/2}{\omega }}}
對於
ω
≡
(
E
k
−
E
i
)
/
ℏ
{\displaystyle \omega \equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar }
ai (0)ak (0)ak (t )
k
≠
i
{\displaystyle k\neq i}
躍遷速率是
Γ
i
→
k
=
d
d
t
|
a
k
(
t
)
|
2
=
2
|
⟨
k
|
H
′
|
i
⟩
|
2
ℏ
2
sin
ω
t
ω
,
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|a_{k}(t)\right|^{2}={\frac {2|\langle k|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin \omega t}{\omega }},}
一個對於小 ω
ω
=
0
{\displaystyle \omega =0}
sin
(
ω
t
)
/
ω
=
t
{\displaystyle \sin(\omega t)/\omega =t}
|
k
⟩
{\displaystyle |k\rangle }
t
對於連續分布在能量E ρ (E )ω
Γ
i
→
f
=
2
ℏ
∫
−
∞
∞
d
ω
ρ
(
ω
)
|
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
|
2
sin
ω
t
ω
.
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \rho (\omega )|\langle f|H'|i\rangle |^{2}{\frac {\sin \omega t}{\omega }}~.}
考慮很長一段時間，sinc函數在ω [−π /t , π /t ]
Γ
i
→
f
=
2
ρ
|
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
|
2
ℏ
∫
−
∞
∞
d
ω
sin
ω
t
ω
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2\rho |\langle f|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {\sin \omega t}{\omega }}}
只正比於狄利克雷積分 ，常數π
「含時的部分消失了」，黃金定則是「常數衰變率」。[ 7] 粒子衰變 。（然而經過相當長的時間後只要a k a i ak (t )
Close
只有矩陣元素
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
{\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }
波茲曼方程式 方法。[ 8]
偶極子的放射圖案和總功率（正比於衰變率）依賴於與鏡子的距離。 費米黃金定則預測了激發態根據態密度的衰變機率。實驗上這一現象可藉由測量鏡子附近的偶極子的衰變律：當鏡子創造出高低態密度的區域時，測量到的衰變率由鏡子和偶極子之間的距離決定。[ 10] [ 11]
It is remarkable in that the rate is constant and not linearly increasing in time, as might be naively expected for transitions with strict conservation of energy enforced. This comes about from interference of oscillatory contributions of transitions to numerous continuum states with only approximate unperturbed energy conservation, cf. Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 , pp. 150-151. Merzbacher, Eugen. 19.7 (PDF) . Quantum Mechanics 3rd. Wiley, John & Sons, Inc. 1998 [2019-11-09 ] . ISBN 978-0-471-88702-7存檔 (PDF) 於2016-03-04）. K. H. Drexhage, H. Kuhn, F. P. Schäfer. Variation of the Fluorescence Decay Time of a Molecule in Front of a Mirror. BERICHTE DER BUNSEN-GESELLSCHAFT FUR PHYSIKALISCHE CHEMIE. 1968, 72 : 329. doi:10.1002/bbpc.19680720261 
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