費雪z分佈

提示：此條目頁的主題不是費雪轉換。

費雪z分佈是F分布隨機變數的自然對數0.5倍拉伸量的機率分布：

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln F}$

Fisher's z

機率密度函數
參數	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ deg. of freedom
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!}$
眾數	${\displaystyle 0}$

Ronald Fisher

首次由羅納德·愛爾默·費雪於1924年在多倫多舉辦的國際數學家大會的投稿文章所描述。^[1]現今則經常以F分布取代之。

費雪z分佈的機率密度函數與累積分布函數可由F分布於${\displaystyle x'=e^{2x}}$求得。然而，其平均數與變異數並不能以相同轉換方式求得。

該機率密度函數為^[2][3]

${\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}}$

其中B為Β函數。

當自由度很大（${\displaystyle d_{1},d_{2}\rightarrow \infty }$）時，該分布逼近期望值為 ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)}$ 且變異數為 ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)}$ 的常態分布。^[2]

相關分布

• 若${\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$則${\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)}$（F分布）。
• 若${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$則${\displaystyle {\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$。

參考資料

1. Fisher, R. A. On a Distribution Yielding the Error Functions of Several Well Known Statistics (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto. 1924, 2: 805–813. （原始內容 (PDF)存檔於April 12, 2011）.
2. Leo A. Aroian. A study of R. A. Fisher's z distribution and the related F distribution. The Annals of Mathematical Statistics. December 1941, 12 (4): 429–448. JSTOR 2235955. doi:10.1214/aoms/1177731681 .
3. Charles Ernest Weatherburn. A first course in mathematical statistics. 1961.

外部連結

• MathWorld entry （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）