調和數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上,第n個調和數是首n個正整數的倒數和,即
它也等於這些自然數的調和平均值的倒數的
倍。它可以推廣到正整數的倒數的冪之和,即
。
根據定義,調和數滿足遞推關係
它也滿足恆等式
對於第n項調和數,有以下公式
設:
,由此得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c984285566e47364b98a6e2e38e75ecdeb0709e)
對於調和數
,當n不是太大時,可以直接計算。
當n特別大時,可以進行估算。
因為
,
其中
稱為歐拉-馬斯刻若尼常數,
由此得到
當n越大時,估算越精確。
更精確的估算是
其中
是第k項伯努利數。
對於每一個大於0的x,有
由此,得
對於每一個n,有
根據定義,其他類似於調和數的數列有以下計算方法: