虛功

在分析力學裏，施加於某物體的作用力，由於給定的虛位移，所做的機械功，稱為虛功（英語：virtual work）。以方程式表達，虛功${\displaystyle \delta W}$是

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} }$；

粒子的運動軌道與虛軌道分別為${\displaystyle x(t)}$與${\displaystyle x'(t)}$。在位置${\displaystyle x_{1}}$、時間${\displaystyle t_{1}}$，虛位移為${\displaystyle \delta x}$。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為${\displaystyle x_{0}}$與${\displaystyle x_{2}}$。

其中，${\displaystyle \mathbf {F} }$是作用力，${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$是虛位移。

在這篇文章裏，位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量（independent variable），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述矩陣方程式：

${\displaystyle \mathbf {R} ^{T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {q} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {q} }$都是向量，${\displaystyle \mathbf {B} }$是方塊矩陣。

假若，${\displaystyle \mathbf {R} }$是個任意非零向量，則可以將任意項目${\displaystyle \mathbf {R} }$從方程式中除去，得到${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {B} \mathbf {q} }$。

虛功原理

虛功原理闡明，一個物理系統處於靜態平衡（static equilibrium），若且唯若，所有施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所做的虛功的總和等於零^[1][2]。以方程式表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

考慮一個由一群質點組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點${\displaystyle P_{i}}$可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$等於零：

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=0}$。

給予這質點${\displaystyle P_{i}}$ 虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$，則合力${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$所做的虛功${\displaystyle \delta W_{i}}$為零：

${\displaystyle \delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

將合力細分為外力${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$與約束力${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零^[3]：

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$，

則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為反作用力的虛功假設：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來^[1]。

在動力學裏，虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。

適用案例

在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：

• 剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達，${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}}$；其中，剛體內部的質點${\displaystyle P_{i}}$、${\displaystyle P_{j}}$的位置分別為${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$，它們之間的距離${\displaystyle L_{ij}}$是個常數。所以，兩個質點的虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}}$之間的關係為

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$。

在這裏，有兩種可能的狀況：

1、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}}$：

對於這狀況，由於${\displaystyle \mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}}$，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0}$，

所以，約束力所做的虛功的總合是零。

2、${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})}$ :

由於${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}$，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$。

所以，約束力所做的虛功的總合是零。

所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。

• 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。^[3]。

在位形空間的意義

將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$和廣義坐標${\displaystyle q_{i}}$表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0}$。

設定一個${\displaystyle N}$維位形空間，其坐標為${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$，其內中表示位置的點稱為位形點。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏，廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})}$垂直於符合約束條件的虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})}$。

假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$不可能垂直於${\displaystyle N}$維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$必須等於零。

假設，這物理系統有${\displaystyle L}$個約束條件，則自由度為${\displaystyle N-L}$，位形點必需處於位形空間的某${\displaystyle N-L}$維子空間，而廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$必須垂直於這子空間，因此必需使用${\displaystyle N-L}$個運動方程式來表達這物理系統。

保守系統

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是純量的廣義位勢函數${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$的對於其對應的廣義坐標的負偏導數：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}$。

虛功與廣義位勢的關係為

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0}$。

由於位勢的變分${\displaystyle \delta V}$等於零，一個靜態平衡系統的位勢${\displaystyle V}$乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢${\displaystyle V}$必須是個局域極小值。

參見

• 柔度法（英語：flexibility method）
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學

參考文獻

1. Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 （英語） 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
3. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 （英語）. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

外部連結

• 虛功原理的應用實例 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）