在光學 裏，菲涅耳衍射 （Fresnel diffraction），又稱近場繞射 （Near-field diffraction）[ 1] 光波 在近場區域的衍射 。菲涅耳衍射積分式 可以用來計算光波在近場區域的傳播，因法國物理學者奧古斯丁·菲涅耳 而命名，是基爾霍夫衍射公式 的近似。[ 2]
奧古斯丁·菲涅耳 從每一個光學系統特徵的菲涅耳數 ，可以辨別光波傳播的區域是近場還是遠場。設想光波入射於任意孔徑，對於這光學系統，菲涅耳數定義為
F
=
d
e
f
a
2
L
λ
{\displaystyle F\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {a^{2}}{L\lambda }}}
其中，
a
{\displaystyle a}
L
{\displaystyle L}
λ
{\displaystyle \lambda }
波長 。
假若
F
≳
1
{\displaystyle F\gtrsim 1}
菲涅耳衍射積分式 來計算其物理性質。
衍射示意圖：照射光波於開有孔徑的擋板，會在擋板後方區域產生菲涅耳衍射，從而形成波擾於點P。 假設照射光波於開有孔徑的不透明擋板，則會有衍射圖樣出現於觀察屏。根據惠更斯-菲涅耳原理 ，從孔徑內部任意點次波源Q發射出的圓球面次波，在觀察屏點P的波擾
ψ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
ψ
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
λ
∫
S
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
R
R
K
(
χ
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {i}{\lambda }}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0){\frac {e^{ikR}}{R}}K(\chi )\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
其中，
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}
直角坐標 ，
r
′
=
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',0)}
λ
{\displaystyle \lambda }
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \psi (x',y',0)}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
K
(
χ
)
{\displaystyle K(\chi )}
χ
{\displaystyle \chi }
法向量 與
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
古斯塔夫·基爾霍夫 給出了傾斜因子
K
(
χ
)
{\displaystyle K(\chi )}
K
(
χ
)
=
1
2
(
1
+
cos
χ
)
{\displaystyle K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}
除了最簡單的衍射案例以外，幾乎不可能找到這積分式的解析解。通常，必須使用數值分析 方法來解析這積分式。
為了要計算這積分式的解答，必須先使積分項目更簡單化。設定
ρ
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}}
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
R
{\displaystyle R}
泰勒級數 表示為
R
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
=
ρ
2
+
z
2
=
z
1
+
ρ
2
z
2
=
z
[
1
+
ρ
2
2
z
2
−
1
8
(
ρ
2
z
2
)
2
+
⋯
]
=
z
+
ρ
2
2
z
−
ρ
4
8
z
3
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}
。 假若保留所有項目，則這級數式為精確解。[ 3]
R
{\displaystyle R}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
k
ρ
4
8
z
3
≪
2
π
{\displaystyle {\frac {k\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }
改換以波長
λ
=
2
π
/
k
{\displaystyle \lambda =2\pi /k}
ρ
4
8
z
3
λ
≪
1
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
將先前
ρ
{\displaystyle \rho }
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
2
8
z
3
λ
≪
1
{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
假若，對於所有
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
從這些論述，
R
{\displaystyle R}
R
≈
z
+
ρ
2
2
z
=
z
+
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
2
z
{\displaystyle R\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
這方程式稱為「菲涅耳近似」。這近似成立的條件是上述不等式。
例如，對於半徑為1mm的圓孔，假設觀察屏區域的半徑也是1mm，入射波的波長為500nm，則近似成立的條件為
z
≫
(
ρ
4
8
λ
)
1
/
3
=
[
0.002
4
8
⋅
500
⋅
10
−
9
]
1
/
3
≈
0.016
[
m
]
{\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}
圓孔與觀察屏之間的距離
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
[ 4]
假設孔徑尺寸超小於傳播路徑長度，則
K
(
χ
)
≈
1
{\displaystyle K(\chi )\approx 1}
x
,
y
≪
z
{\displaystyle x,y\ll z}
R
{\displaystyle R}
R
≈
z
{\displaystyle R\approx z}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
ψ
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
∫
S
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
這就是「菲涅耳衍射積分式」。仔細推敲這積分式的含意，假設菲涅耳近似成立，則位於孔徑的次波源發射出的圓球面次波，會沿著z-軸方向，傳播到觀察屏。整個積分調製圓球面波的波幅與相位。只有對於少數案例，這方程式存在分析解答。
更進一步近似，將
e
i
k
R
{\displaystyle e^{ikR}}
e
i
k
z
{\displaystyle e^{ikz}}
夫朗和斐繞射 。菲涅耳衍射與夫琅禾費衍射不同的地方，主要是菲涅耳衍射將波前的曲率納入考量，這是為了要精確計算相互干涉的波擾彼此之間的相對相位。
軸上照度 輻照度比率對無量綱距離圖。 照射光波於開有孔徑的擋板，會在擋板後方區域產生菲涅耳衍射，因此在觀察屏會出現光斑。注意到在光斑的中心有一個黑點，這裏的輻照度等於零，夫朗和斐繞射 不會在光斑的中心產生這黑點。 假設孔徑是半徑為
a
{\displaystyle a}
x
,
y
=
0
{\displaystyle x,y=0}
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0}}
根據菲涅耳衍射積分式，
ψ
(
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ
0
λ
z
∫
S
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (0,0,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
改採極坐標
(
ρ
′
,
θ
′
)
{\displaystyle (\rho ',\theta ')}
ψ
(
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ
0
λ
z
∫
0
a
e
i
k
ρ
′
2
/
2
z
ρ
′
d
ρ
′
=
−
ψ
0
e
i
k
z
(
e
i
k
a
2
/
2
z
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0,0,z)&=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{0}^{a}e^{ik\rho '^{2}/2z}\ \rho '\mathrm {d} \rho '\\&=-\psi _{0}e^{ikz}(e^{ika^{2}/2z}-1)\\\end{aligned}}}
。 輻照度
I
(
z
)
{\displaystyle I(z)}
[ 5]
I
(
z
)
=
ψ
∗
ψ
/
2
=
ψ
0
2
2
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
=
I
0
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
{\displaystyle I(z)=\psi ^{*}\psi /2=\psi _{0}^{\ 2}\ 2\sin ^{2}(ka^{2}/4z)=I_{0}\sin ^{2}(ka^{2}/4z)}
從這函數繪製的輻照度比率對無量綱距離圖展示出，離孔徑越近，震盪越劇烈。這區域是菲涅耳衍射區域。在這區域裏，輻照度的極值點分別為
極大值：當
z
=
a
2
2
n
λ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{2n\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
極小值：當
z
=
a
2
(
2
n
−
1
)
λ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{(2n-1)\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
離孔徑越遠，兩個相鄰極值點之間的間隔越大，
z
=
a
2
/
λ
{\displaystyle z=a^{2}/\lambda }
Z
F
=
a
2
/
λ
{\displaystyle Z_{F}=a^{2}/\lambda }
例如，對於半徑為1mm的圓孔，假設入射波的波長為500nm，則
Z
F
{\displaystyle Z_{F}}
Z
F
=
0.001
2
500
⋅
10
−
9
≈
2
[
m
]
{\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}
總結，孔徑與觀察屏之間的距離在2m以內是菲涅耳衍射區域，以外是夫朗和斐繞射區域。
軸側照度 通過隆梅爾函數計算的菲涅耳圓孔衍射圖 [ 6]
I
=
(
V
0
−
cos
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
+
(
V
1
−
sin
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
{\displaystyle I=\left(V_{0}-\cos \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}+\left(V_{1}-\sin \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}}
其中
V
m
{\displaystyle V_{m}}
隆梅爾函數 (Lommel function)
V
m
=
∑
n
=
0
∞
∗
(
(
−
1
)
n
∗
(
v
u
)
2
∗
n
+
m
∗
J
2
n
+
m
(
v
)
)
{\displaystyle V_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }*((-1)^{n}*({\frac {v}{u}})^{2*n+m}*J_{2n+m}(v))}
J
2
n
+
m
(
v
)
{\displaystyle J_{2n+m}(v)}
2
n
+
m
{\displaystyle 2n+m}
貝塞爾函數
泊松光斑 圓盤衍射在軸上的強度為
I
=
I
0
∗
λ
2
/
4
{\displaystyle I=I_{0}*\lambda ^{2}/4}
因此圓盤衍射的軸上強度，和波長的平方成正比，而與圓盤的直徑、與圓盤的距離無關，所以衍射圖形的中心一定是個亮點。這個亮點稱為泊松光斑 [ 7]
菲涅爾單縫衍射 菲涅耳單縫衍射的強度分布為：[ 8]
I
=
(
C
p
(
Y
)
−
C
q
(
Y
)
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
−
S
q
(
Y
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)-Cq(Y))^{2}+(Sp(Y)-Sq(Y))^{2}}
其中 Cp,Cq 為餘弦菲涅耳積分 ：
C
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cp(Y):=\int _{0}^{p}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
S
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sq(Y)=\int _{0}^{q}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
菲涅耳單縫衍射圖形與夫琅禾費單縫衍射明顯不同之處在於前者的第一個極小值不等於0（如圖），而後者為0。
菲涅爾直邊衍射 菲涅耳直邊衍射 一個平面波通過與光線傳播方向垂直的不透明直邊，
[ 9]
I
=
(
C
p
(
Y
)
+
0.5
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
+
0.5
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)+0.5)^{2}+(Sp(Y)+0.5))^{2}}
其中 Cq 為餘弦菲涅耳積分 ：
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
Sp 為正弦菲涅耳積分：
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
[ 10] [ 11]
設定函數
h
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle h(x,y,z)}
h
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
2
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle h(x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}
波擾
ψ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
卷積 形式：
ψ
(
x
,
y
,
z
)
=
∬
−
∞
∞
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
h
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
,
z
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi (x',y',0)h(x-x',y-y',z)\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
或者，由於z-坐標與積分無關，可以將z-坐標資訊提出，
ψ
z
(
x
,
y
)
=
∬
−
∞
∞
ψ
0
(
x
′
,
y
′
)
h
z
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi _{0}(x',y')h_{z}(x-x',y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
這卷積又可以標記為
ψ
z
(
x
,
y
)
=
ψ
0
(
x
,
y
)
∗
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\psi _{0}(x,y)*h_{z}(x,y)}
根據卷積定理 ，函數卷積的傅立葉變換 是函數傅立葉變換的乘積，以方程式表達，
F
{
ψ
z
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ
0
(
x
,
y
)
∗
h
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ
0
(
x
,
y
)
}
⋅
F
{
h
z
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\psi _{z}(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)*h(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{z}(x,y)\}}
其中，
F
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x,y)\}}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
假設這光學系統是線性系統 ，滿足空間不變性 ，即改變波源的位置只會改變衍射圖樣的位置，不會改變衍射圖樣的形狀。這樣，一個有限尺寸波源所產生的衍射圖樣，可以視為是由其每一個點波源所產生的衍射圖樣共同線性疊加而形成。
假設這線性系統的線性算子 為
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
G
(
X
,
Y
)
{\displaystyle G(X,Y)}
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\{f(x,y)\}}
應用狄拉克δ函數 的數學性質，
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\left\{\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y')\delta (x-x')\delta (y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'\right\}}
將
f
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle f(x',y')}
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
y
−
y
′
)
{\displaystyle \delta (x-x')\delta (y-y')}
權重 係數，應用線性系統的性質，可以將積分式寫為
G
(
X
,
Y
)
=
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
L
{
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
y
−
y
′
)
}
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(X,Y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y'){\mathcal {L}}\{\delta (x-x')\delta (y-y')\}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
由此推論，表現觀察屏輻照圖案的函數
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x',y')}
狄拉克δ函數 所做出的響應，因此稱為脈衝響應 。[ 12]
定義空間頻率
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
K
x
=
d
e
f
k
x
/
z
{\displaystyle K_{x}\ {\stackrel {def}{=}}\ kx/z}
K
y
=
d
e
f
k
y
/
z
{\displaystyle K_{y}\ {\stackrel {def}{=}}\ ky/z}
將橫向位移的每一個分量展開，
(
x
−
x
′
)
2
=
x
2
+
x
′
2
−
2
x
x
′
{\displaystyle (x-x')^{2}=x^{2}+x'^{2}-2xx'}
(
y
−
y
′
)
2
=
y
2
+
y
′
2
−
2
y
y
′
{\displaystyle (y-y')^{2}=y^{2}+y'^{2}-2yy'}
則菲涅耳衍射積分式可以以二維傅立葉變換來表達。設定函數
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
G
(
K
x
,
K
y
)
=
d
e
f
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
d
e
f
∬
−
∞
∞
g
(
x
′
,
y
′
)
e
−
i
(
K
x
x
′
+
K
y
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathcal {F}}\left\{g(x',y')\right\}\ {\stackrel {def}{=}}\ \iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }g(x',y')e^{-i(K_{x}x'+K_{y}y')}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
設定函數
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
g
(
x
′
,
y
′
)
=
ψ
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
{\displaystyle g(x',y')=\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}}
菲涅耳衍射積分式表達為
ψ
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
ψ
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
}
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
G
(
K
x
,
K
y
)
=
h
z
(
x
,
y
)
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{z}(x,y)&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{g(x',y')\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ G(K_{x},K_{y})\\&=h_{z}(x,y)\ G(K_{x},K_{y})\\\end{aligned}}}
； 其中，函數
h
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
{\displaystyle h_{z}(x,y)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}
在做實例計算時，先計算
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
ψ
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)}
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
線性標準轉換 。
M. Born & E. Wolf, Principles of Optics, 1999, Cambridge University Press, Cambridge
實際而言，在先前一個步驟裏做了一個近似，即假定
e
i
k
r
/
r
{\displaystyle e^{ikr}/r}
亥姆霍茲方程式 的解答，而是純量亥姆霍茲方程式的解答。請參閱條目純量波近似 （scalar wave approximation）。 Bekefi, George; Barrett, Alan, Electromagnetic Vibrations, Waves and Radiations, The MIT Press: pp. 563–567, 1977, ISBN 978-0262520478 Hone-Ene Hwang and Gwo-Huei Yang, Study and improvement of near‐field diffraction limits of circular aperture imaging systems, Journal of the Chinese Institute of Engineers, Vol. 25, No. 3, pp. 335-340 (2002)
Karl Dieter Möller, Optics 2nd edtion p136
Karl Dieter Möller, Optics, 2nd Ed p174
Karl Dieter Möller, Optics, 2nd Ed p. 174
M. Born & E. Wolf, Principles of Optics, Fresnel diffraction at a straight edge p493
Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 529–532, 2002, ISBN 0-8053-8566-5（英語） 
![{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b5efb63bb08b6df1a2797505eec3b7b0c9de19)
![{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eeb84a66c3267c3271e92a8f28a20c8bb6ea80)
![{\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f494abfec5c4acfeac1fa81abb704962594d1e6)
![{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043116bdd1d9468255a5ed42d454e478764cbb2b)
![{\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16bdedfb0f1eb2c88ab7c6c0b75d1d8fc576db1)
