在數學中,特別是矩陣論裡,若爾當矩陣是矩陣的一種,又稱若爾當塊(作為另一個矩陣的一部分時)。當係數取在某個環
上時(其中的零元和乘法單位元分別記為0和1),若爾當矩陣可以寫成如下形式:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8106c64d99fe93f8fc3a866c06a3d99ef110640)
其對角線上全都是同一個元素
,而對角線上一排(即所有第
行第
列)都是1,其餘位置上都是0。
可以看到只要確定了對角線上的係數
和矩陣的大小
,就確定了一個若爾當矩陣。這樣一個若爾當矩陣被記為
。
如果一個分塊對角矩陣的每一個分塊都是若爾當塊,那麼這個矩陣叫做若爾當形矩陣,或若爾當標準型。例如以下矩陣:
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},m_{1}}&0&0&\cdots &0\\0&J_{\lambda _{2},m_{2}}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&J_{\lambda _{s-1},m_{s-1}}&0\\0&0&0&0&J_{\lambda _{s},m_{s}}\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84953c438f0052e8504b1ecb5cddee1d52f85136)
以上的若爾當形矩陣也可以記成
給定的一個若爾當矩陣
可以分解為:
![{\displaystyle J_{\lambda ,n}=\lambda I_{n}+N}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5395a6c067e4734ed45e7167f7db4a387644122c)
其中
是n 維的單位矩陣,而N 則是一個冪零矩陣:
![{\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d165bdc3667f142af14043c7c0abe949e1cf3622)
矩陣N 滿足
。
- 金朝嵩、段正敏、王漢明. 线性代数. 清華大學出版社. 2006年.