羅斯定理

在幾何學中，羅斯定理是關於三角形面積的一個定理。給定一個三角形，在它的三邊上各取一點，並和對面的頂點相連。三條連線將會在三角形中央圍出一個新的小三角形。羅斯定理給出了這個新三角形的面積與三角形邊上三個點的位置的關係。羅斯定理可以看成是塞瓦定理的一種推廣。

歷史

這個定理最早由愛德華·約翰·羅斯於1896年在其著作《論解析靜力學及例子》一書的第82頁中提出^[1]。當${\displaystyle x=y=z=2}$時，結論就是所謂的七分三角形。

定理描述

設有一個三角形${\displaystyle ABC}$，而${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$ 與 ${\displaystyle F}$ 分別是三角形的三條邊 ${\displaystyle BC}$、${\displaystyle CA}$和${\displaystyle AB}$上的點。如果設 ${\displaystyle BD=a}$、${\displaystyle CE=b}$、${\displaystyle AF=c}$，以及${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}}$${\displaystyle =x}$、${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}}$${\displaystyle =y}$、 ${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}}$${\displaystyle =z}$，那麼右圖中紅色的小三角形${\displaystyle \scriptstyle PQR}$的面積占三角形${\displaystyle ABC}$面積的比例就是：

${\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}}$

這個三角形${\displaystyle \scriptstyle PQR}$是由線段${\displaystyle AD}$、${\displaystyle BE}$和${\displaystyle CF}$圍出來的，或者可以看成將三角形${\displaystyle ABC}$沿着${\displaystyle BD}$、${\displaystyle CE}$、${\displaystyle AF}$剪裁而剩下的三角形。

當${\displaystyle BD}$、${\displaystyle CE}$、${\displaystyle AF}$三線交於一點，那麼由三角形面積為0可以推出${\displaystyle xyz=1}$，這時就得到塞瓦定理。反過來如果${\displaystyle xyz=1}$時，中間的三角形面積為0，也就是說${\displaystyle BD}$、${\displaystyle CE}$、${\displaystyle AF}$三線交於一點，因此得出塞瓦定理的逆定理。

證明

設三角形${\displaystyle ABC}$ 面積為1。對三角形${\displaystyle ABD}$ 以及直線${\displaystyle FRC}$ 使用梅涅勞斯定理，得到：

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$

因此${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}{\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$

於是三角形${\displaystyle ARC}$ 的面積：

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}{\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

同理可得${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$ 和 ${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$

於是三角形${\displaystyle PQR}$ 的面積：

${\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}$

${\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}$

${\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}$

七分三角形

當${\displaystyle x=y=z=2}$時，D、E、F三點便是三角形${\displaystyle ABC}$三條邊的三等分點。由羅斯定理可以算出圍成的小三角形${\displaystyle PQR}$ 的面積是原來三角形${\displaystyle ABC}$ 面積的七分之一。簡單來說，就是：

如果將三角形的頂點和對邊的三等分點連線，那麼沿線剪裁後剩下的小三角形的面積是原來的七分之一。

這裡所取的三等分點必須是「同向」的，即是說不能有兩點同時「更靠近」同一個頂點。

根據R.J. 庫克和G.V.伍德的回憶，某次在康奈爾大學的研討會結束後的晚宴上，有人曾經向物理學家理查德·費曼提出過這個問題。費曼幾乎把所有的晚宴時間都花在證明這個命題不成立上面，但最後還是證出它是正確的^[2]。因此這個面積為原三角形面積七分之一的三角形有時也被叫作「費曼三角形」^[3]。

參考來源

1. （英文）默里·S. 克拉姆金. Three more proofs of Routh's theorem. Crux Mathematicorum 7 (1981) 199–203.
2. R.J. Cook & G.V. Wood (2004), Feynman's Triangle, Mathematical Gazette 88:299–302.
3. Feyman's Triangle^{[永久失效連結]}

• （英文）H.S.M.考克瑟特. Introduction to Geometry. Wiley, New York, 1969,第二版.
• （英文）J.S.克萊因, D.威爾曼. Yet another proof of Routh's theorem. Crux Mathematicorum 21 (1995) 37–40.
• Routh's Theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Jay Warendorff, 沃夫蘭證明計劃.
• 埃里克·韋斯坦因. 罗斯定理. MathWorld.
• Hugo Steinhaus (1960) Mathematical Snapshots
• James Randi (2001) Proof by Martin Gardner （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• R.J. Cook & G.V. Wood (2004) Feynman's Triangle Mathematical Gazette 88:299–302.
• Michael de Villiers (2005) Feynman's Triangle: Some Feedback and More （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Mathematical Gazette 89:107.