線性子空間(或向量子空間)在線性代數和相關的數學領域中是重要的。在沒有混淆於其他子空間的時候通常簡稱為「子空間」。
在線性代數和其他數學相關領域,一個線性子空間(或向量子空間)U是給定域
向量空間V的一個子集,並且它還是V的加法子群,同時,在純量乘下回到自身,那麼,V上運算在U上的限制導出U的向量空間結構,我們把U稱為V上的向量(或線性)子空間。
設 V 是在域 K 上的向量空間,並設 W 是 V 的子集。則當且僅當它滿足下列三個條件時,W 是個子空間:
- 零向量 0 在 W 中。
- 如果 u 和 v 是 W 的元素,則向量和 u + v 是 W 的元素。
- 如果 u 是 W 的元素而 c 是來自 K 的標量,則標量積 cu 是 W 的元素。
- 對於所有向量空間 V,集合 {0} 和 V 自身是 V 的子空間。
- 如果 V 是內積空間,則任何 V 的子空間的正交補也是子空間。
- 任意多個向量子空間的交集仍然是向量子空間。注意:兩個子空間的併集未必是子空間。例如
是V中任意兩個線性無關的向量且
,那麼,
∪
不包含
。
- 特徵化子空間的一種方式它們閉合在線性組合下。就是說,W 是子空間,當且僅當所有 W 的(有限多個)元素的線性組合也屬於 W。子空間的定理中條件 2 和 3 是最基本的線性組合。
例子 I:
設域 K 是實數的集合 R,並設向量空間 V 是歐幾里得空間 R3。
取 W 為最後的分量是 0 的 V 中所有向量的集合。則 W 是 V 的子空間。
證明:
- 給定 W 中 u 和 v,它們可以表達為 u = (u1,u2,0) 和 v = (v1,v2,0)。則 u + v = (u1+v1,u2+v2,0+0) = (u1+v1,u2+v2,0)。因此 u + v 也是 W 的元素。
- 給定 W 中 u 和 R 中標量 c,如果 u = (u1,u2,0),則 cu = (cu1, cu2, c0) = (cu1,cu2,0)。因此 cu 也 是 W 的元素。
例子 II:
設域是 R,設向量空間是歐幾里得幾何 R2。取 W 為 R2 的使得 x = y 的所有點 (x,y) 的集合。則 W 是 R2 的子空間。
證明:
- 設 p = (p1,p2) 且 q = (q1,q2) 是 W 的元素,就是說,在平面上的點使得 p1 = p2 且 q1 = q2。則 p + q = (p1+q1,p2+q2);因為 p1 = p2 且 q1 = q2,則 p1 + q1 = p2 + q2,所以 p + q 是 W 的元素。
- 設 p = (p1,p2) 是 W 的元素,就是在平面中點使得 p1 = p2,並設 c 是 R 中的標量。則 cp = (cp1,cp2);因為 p1 = p2,則 cp1 = cp2,所以 cp 是 W 的元素。
一般的說,歐幾里得空間 Rn 的定義自齊次線性方程的任何子集都生成子空間。在幾何上說,這些子空間是穿過點0的一些點、直線、平面。
給定向量空間V的子空間 U 和 W,則它們的交集 U ∩ W := {v∈V: v ∈ U 且 v ∈ W} 也是 V 的子空間。
證明:
- 設 v 和 w 是 U ∩ W 的元素。則 v 和 w 屬於 U 和 W 二者。因為 U 是子空間,則 v + w 屬於 U。類似的,因為 W 是子空間,則 v + w 屬於 W。所以 v + w 屬於 U ∩ W。
- 設 v 屬於 U ∩ W,並設 c 是標量。則 v 屬於 U 和 W 二者。因為 U 和 W 是子空間,cv 屬於 U 和 W 二者。
進一步的,和
![{\displaystyle U+W=\{\mathbf {u} +\mathbf {w} :\mathbf {u} \in U{\mbox{ and }}\mathbf {w} \in W\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab03e3b79677f2082310d9abd4a5df18d9fdc888)
是一個 V 的子空間。U ∩ W 和 U + W 的維度滿足
。