積分第二中值定理

積分第二中值定理是與積分第一中值定理相互獨立的一個定理，屬於積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。

內容

若f,g在[a,b]上黎曼可積且f(x)在[a,b]上單調，則存在[a,b]上的點ξ使

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}$；

退化態的幾何意義

第二積分中值定理退化形式的幾何意義

令g(x)=1，則原公式可化為：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}$；

進而導出：

${\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}}$；

此時易得其幾何意義為： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[紅]+S[藍]=S[陰影]，即S[I]=S[II]

另請參見

中值定理