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因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 ,及跟 有一條共同邊的三角形 。若 符合皮克公式,則只要證明 加上 的 亦符合皮克公式(I),與及三角形符合皮克公式(II),就可根據數學歸納法,對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。
設 和 的共同邊上有 個格點。
證明分三部分:證明以下的圖形符合皮克定理:
設矩形 長邊短邊各有,個格點:
易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等,且 , 相等。設其斜邊上有 個格點。
逆運用前面對2個多邊形的證明:
既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面證明到若P,T符合皮克公式,則 加上 的 亦符合皮克公式。那麼由於矩形可以分解成1個任意三角形和至多三個直角三角形。
於是顯然有,只有當這個任意三角形也符合皮克定理的時候,才會使得在直角三角形符合的同時,矩形也符合。
Georg Alexander Pick,1859年生於維也納,1943年死於特萊西恩施塔特集中營。
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