理想類群(英語:Ideal class group)是代數數論的基本對象之一,簡稱類群。
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一個代數數域K的理想類群是形如 JK /PK 的商群; 此處JK 是代數數域K的整數環的所有分式理想構成的群; 而PK是這個群的子群,包含所有可以被一個元素生成的分式理想(類似主理想的定義)。
理想類群在一定程度上可以測量K的整數環中算術基本定理(唯一分解)被破壞程度: 只有當理想類群的秩為1時,代數數域K的整數環才是唯一分解整環。理想類群的秩又被稱作為代數數域的「類數」。
形式定義
設
為戴德金整環。此時
中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。
今將定義其上的等價關係:設
為二非零理想,定義
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}\Leftrightarrow \exists s,t\in {\mathcal {O}}^{\times }\;(s){\mathfrak {a}}=(t){\mathfrak {b}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79940177fb9ad8de005fee98bbb1a4af7ca7d426)
理想么半群對此關係的商構成一個交換群
,稱為
的理想類群。
另一套進路是考慮
的非零分式理想構成之交換群,再考慮它對主分式理想
之商,由此得到的對象自然同構於理想類群。
性質
- 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
- 設
為數域,
為其中的代數整數環,因而是戴德金整環。此時可證明
是有限群。其元素個數記為
,稱作類數。
例子
考慮二次域
。考慮理想
。
易證此非主理想,因此理想類群非零。事實上,其理想類群是二階循環群。