球極平面投影(stereographic projection),在幾何學裏,是一種將圓球面投影至平面的映射。在構造地質學裏,稱為球面立體投影或球面投影。除了投影點以外,這投影在整個球面都有定義。在這定義域裏,這映射具有光滑性、雙射性和共形性。共形性的意思就是角度維持不變。但是,這映射不會維持距離不變,也不會維持面積不變;它不會維持圖案的距離與面積。
直覺而言,球極平面投影是一種以平面來看球面的方法。使用這方法,在圖案品質方面,必須接受一些不可避免的妥協。因為圓球與平面出現於許多數學方面的問題和應用,球極平面投影也非常地常見。在各個領域,例如,複分析,地圖學,地質學,與攝影,球極平面投影都有廣泛的用處。實際上,球極平面投影經常是用電腦繪成,或者用手工直接繪在一種特別的繪圖紙,稱為烏爾夫網圖。
球面球座標投影到平面極座標:
![{\displaystyle (R,\Theta )=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a762112214205f605d0003e23f246d4b8259cb15)
反解:
![{\displaystyle (\varphi ,\theta )=\left(2\arctan \left({\frac {1}{R}}\right),\Theta \right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2034a0f8c18c61b120d8fe5ba6c53af3f4daeb27)
特別地,當 R = 0 時,φ = π
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這三維透視圖可以顯示出球極平面投影圖的製作方法。
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瑞士沃倫山球極平面投影圖,由120張照片合成。
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加勒比海法屬聖馬丁首府
馬里戈特的海灘360度球極平面投影圖,由9張照片合成。
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