在幾何上,一個環面是一個手鐲形狀的旋轉曲面,由一個圓繞一個和該圓共面的一個軸迴轉所生成。球面可以視為環面的特殊情況,也就是旋轉軸是該圓的直徑時。若轉軸和圓不相交,圓面中間有一個洞,就像一個手鐲、甜甜圈、呼啦圈,或者一個充了氣的輪胎。另一個情況,也就是軸是圓的一根弦的時候,就產生一個擠扁了的球面,就像一個圓的座墊那樣。英文Torus曾是拉丁文的這種形狀的座墊。
幾何
一個環面。
圓環面可以參數式地定義為:
![{\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9470ae59c91d22ae36a83a92715cb1155e0d75)
![{\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8c4ed3a5ead836a3674244d8bb479d3de473bd)
![{\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4a814d2a4afc823c9bc0f95ffa8772ba0ecb58)
其中
- u, v ∈ [0, 2π],
- R是管子的中心到畫面的中心的距離,
- r是圓管的半徑。
直角坐標系中的關於z-軸方位角對稱的環面方程是
![{\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e523d2fae8d455dbff39ee3357a3a59a897a4bd7)
該圓環面的表面積和內部體積如下
![{\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f899e6e086fe8074cf1d274f8998655ec2abdc6a)
![{\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c958abea3c70c6107cad679110edaf880f8ebc09)
根據更一般的定義,環面的生成元不必是圓,而可以是橢圓或任何圓錐曲線。
拓撲
一個環面是兩個圓的乘積。
將一個有小洞的環面翻轉。
拓撲學上,一個環面是一個定義為兩個圓的積的閉合曲面:S1 × S1。
上述曲面,若採用R3誘導的相對拓撲,則同胚於一個拓撲環面,只要它不和自己的軸相交。
該環面也可用歐幾里得平面的一個商空間來表述,這是通過如下的等價關係來完成的
- (x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)
或者等價地說,作為單位正方形將對邊粘合的商空間,表述為基本多邊形
。
環面的基本群是圓的基本群和自身的直積:
![{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ea9c6df7d9a41faa49fbd8c062f11d6bac80ad)
直觀地講,這意味着一個先繞着環面的「洞」(譬如,沿着某個緯度方向的圓)然後繞着環面「實體」(譬如,沿着特定經度方向的圓)的閉路徑可以變形成為先繞實體後繞空心的路徑。所以,嚴格的經度方向和嚴格的緯度方向的路徑是可交換的。這可以想象成為兩個鞋帶互相穿過然後解開再繫上。
環面的第一同調群和基本群同構(因為基本群是交換群)。
高維度的環面
環面很容易推廣到任意維。n維標準環面可以定義為 n 個標準圓的乘積:
![{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9cc4f1ca69e92eb44e5e0a5d54057d77890515)
上面所述的環面就是
維環面。
維環面就是圓。
維環面很難描述。和
維環面一樣,
維環面可以表述為
在各個坐標方向整數平移下的商空間。也即,
維環面是
模(modulo)整數格點
的群作用(該作用就是向量和)。等價地說,
維環面是
維立方體把相對的面兩兩粘合起來得到的空間。
維環是
維緊緻流形的一個例子。它也是緊緻可交換李群的一個例子。這是因為單位圓是一個緊緻可交換李群(如果把它作為定義了乘法的單位長度複數來看)。環面上的群乘法可以定義為各坐標分別相乘。
環面群在緊緻李群理論中有重要的作用。部分原因在於所有緊緻李群中總是存在一個極大環面;也就是最大可能維度的閉子群環面。
維環面的基本群是一個n階自由可交換群。
維環面的
階同調群是
取
階的自由可交換群。因此可以推出
維環面的歐拉示性數 是0。上同調環H·(Tn,Z)可以等同為Z-模
上的外代數,其生成元為
非平凡閉鏈的對偶。
環面着色
如果把環面分成若干區域,那麼總是可以用最多7種顏色來着色,使得每對相鄰區域有不同的顏色。(這和四色問題不同。)在下面的例子中,環面被分為7個區域,兩兩相鄰,說明7色是必須的:
參見
外部連結