在數學和量子力學中,狄拉克算子(英語:Dirac operator)是一個微分算子,它是二階微分算子(如拉普拉斯算子)的形式平方根。保羅·狄拉克研究的原始案例是形式分解閔可夫斯基空間的算子,得到一種與狹義相對論兼容的量子理論形式;為了得到由一階算子產生的拉普拉斯算子,他引入了旋量。
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形式定義
一般的,令D是作用於黎曼流形M上的向量叢V的一階微分算子。如果
其中∆是V上的拉普拉斯算子,則D被稱為狄拉克算子。
在高能物理中,這個條件經常被放鬆:只有D2的二階部分必須等於拉普拉斯算子。
例子
例1: D=-i∂x是作用在直線上的切線叢的狄拉克算子。
例2: 我們現在考慮一個物理學中重要的簡單叢:一個限制在平面上帶有½自旋的粒子的位形空間,這也是一個基本流形。它被表示為波函數ψ: R2→C2
其中x和y是R2上的坐標。χ表示自旋向上粒子的概率幅,η與之類似。所謂的自旋狄拉克算子可以被寫為
其中σi 是泡利矩陣。通過泡利矩陣的反對易關係可以知道上面定義的性質是顯然的。這些定義了克利福德代數的概念。
旋量場的狄拉克方程的解常被稱為調和旋量。
例3: 描述三維空間中自由費米子的傳播的狄拉克算子可以寫為
其中用到費曼斜線標記。
例4: 在克利福德分析中也有狄拉克算子。 在n維歐幾里得空間中是
其中{ej: j = 1, ..., n}是n維歐幾里得空間的標準正交基,考慮Rn嵌入一個克利福德代數。
這是阿蒂亞-辛格-狄拉克算子作用於旋量叢的特殊情形。
例5: 對於一個自旋流形,M,阿蒂亞-辛格-狄拉克算子局部定義如下:對於x∈M和M在x處的切空間的局部標準正交基e1(x), ..., ej(x),阿蒂亞-辛格-狄拉克算子是
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推廣
在克利福德分析中,算子D: C∞(Rk ⊗ Rn,S)→C∞(Rk ⊗Rn,Ck ⊗S)作用在如下定義的旋量值函數
有時被稱為k克利福德變量的狄拉克算子。上面符號中,是旋量空間,S是旋量空間, 是n維變量,是狄拉克算子在第i個變量的分量。這是狄拉克算子(k=1)和杜比爾特算子(n=2,k 任意)的一般推廣。這是一個不變微分算子,在群SL(k)×Spin(n)的作用下不變。D的分解只在一些特殊情形是已知的。
另請參閱
參考資料
- Friedrich, Thomas, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1
- Colombo, F., I.; Sabadini, I., Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra, Birkhauser Verlag AG, 2004, ISBN 978-3-7643-4255-5