測地曲率

測地曲率：設P是曲線（C）上一點，${\displaystyle \alpha }$是（C）在P點的單位切向量，${\displaystyle \beta }$是主法向量，${\displaystyle \gamma }$是副法向量。再設n是曲面S在P點的單位法向量。命${\displaystyle \varepsilon =n\times \alpha }$。

曲線（C）在P點的曲率向量${\displaystyle {\ddot {r}}=k\beta }$在${\displaystyle \varepsilon }$上的投影（也就是在S上P點的切平面上的投影）

${\displaystyle k_{g}={\ddot {r}}\cdot \varepsilon }$

稱為曲線（C）在P點的測地曲率。

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相關命題

• 曲面S上的曲線（C），它在P點的測地曲率的絕對值等於（C）在P點的切平面上的正投影曲線（C'）的曲率。

• ${\displaystyle k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}$

式中，k為曲線在P點的曲率，${\displaystyle k_{n}}$為曲線在P點的法曲率。

二維曲面常用的測地曲率公式

今有一緊緻定向的二維曲面S，其線元素可用曲面的第一基本形式的係數表示為：${\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,}$，則其度量張量可表成下列關係式：

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}}}$

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。

二維曲面測地曲率之Beltrami公式

令${\displaystyle C}$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長${\displaystyle s}$為參數，則曲線${\displaystyle C}$的參數方程式為${\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}$，則它在P點的測地曲率${\displaystyle k_{g}}$可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式^{[1] [2] [3]}：

${\displaystyle k_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma _{22}^{2}-2\Gamma _{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]}$

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)^[4]。這裡所用的克氏符號 Γk
ij 在有些書籍還會沿用舊式的 {k
ij}符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量^[5]。

今若曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle u=(s)}$座標線的話，此時${\displaystyle v=}$常數，使得${\displaystyle dv/ds=0}$以及${\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {g_{11}}}}$，那麼其測地曲率可算得為：

${\displaystyle (k_{g})_{u-line}=\Gamma _{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma _{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)}$

同理，假如曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle v=(s)}$座標線的話，使得${\displaystyle u=}$常數，因此${\displaystyle du/ds=0}$以及${\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {g_{22}}}}$，那麼其測地曲率可化簡為：

${\displaystyle (k_{g})_{v-line}=-\Gamma _{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma _{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)}$

二維曲面測地曲率之Liouville公式

令${\displaystyle C}$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長${\displaystyle s}$為參數，則曲線${\displaystyle C}$的參數方程式為${\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}$，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數${\displaystyle F=0}$，又令曲線${\displaystyle C}$在P點與${\displaystyle u}$座標線的夾角為${\displaystyle \theta }$，則它在P點的測地曲率${\displaystyle k_{g}}$可表為下列與${\displaystyle \theta (s)}$夾角相關的Liouville公式^{[6] [7] [8]}：

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}\cos \theta +(k_{g})_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k_{g})_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}}$

上述公式中的${\displaystyle (k_{g})_{u-line}}$與${\displaystyle (k_{g})_{v-line}}$乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle u=(s)}$座標線的話，此時${\displaystyle v=}$常數，則有${\displaystyle dv/ds=0}$以及${\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {E}}}$，那麼該測地曲率可算得為：

${\displaystyle (k_{g})_{u-line}=-{\dfrac {E_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}}$

同理，假如曲線${\displaystyle C}$是沿著${\displaystyle v=(s)}$座標線的話，此時${\displaystyle u=}$常數，導致${\displaystyle du/ds=0}$以及${\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {G}}}$，那麼此測地曲率可算得為：

${\displaystyle (k_{g})_{v-line}={\dfrac {G_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}}$

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式^[9]，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。

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參考文獻

1. Kreyszig, Erwin. Differential Geometry. Dover Publications, New York. 1991: 154-156. ISBN 978-0-486-66721-8.
2. Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi. Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing. Springer, New York. 2002: 266-268. ISBN 978-3-642-04073-3.【推導過程見MIT線上開放課程 §10.2.1. Parametric surfaces】 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
3. Blaga, Paul A. Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. Napoca Press, Cluj-Napoca, Romania. 2005: 177-179. ISBN 9736568962.
4. Nayak, Prasun Kumar. Textbook of Tensor Calculus and Differential Geometry. PHI Learning Pvt. Ltd., New Delhi. 2011: 364,369.
5. Slobodyan, Yu.S., Geodesic curvature, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 1989, ISBN 978-1-55608-010-4
6. do Carmo, Manfredo P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall. 1976: 253-254. ISBN 0-13-212589-7.
7. Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. Chapman & Hall/CRC. 2006: 904-905. ISBN 978-1584884484.
8. Dube, K.K. Differential Geometry and Tensors. I. K. International Pvt Ltd. 2009: 200-201. ISBN 978-9380026589.
9. Sigurd Angenent. A note and two problems on Liouville's formula. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 這是介紹測地曲率之Liouville公式更加精簡形式的文件。