勞侖茲因子

勞侖茲因子是一個出現在狹義相對論中的速記因子，得名於荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲，被用於計算時間膨脹、長度收縮、相對論質量等相對論效應。

定義

勞侖茲因子定義為：

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}$

其中

• v為兩慣性系之間的相對速度，
• c為真空中光速，
• β為v除以光速c的比值，
• τ為原時，
• t為座標時間。

一些作者另外定義了勞侖茲因子的倒數：^[1]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,}$

可用於速度相加推導。

例子

相對論性條件(近光速)下，物體的總能量${\displaystyle E}$與動量${\displaystyle p}$可以通過勞侖茲因子${\displaystyle \gamma }$簡單寫為：

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

其中${\displaystyle m}$為靜質量。

在四維向量描述下，能-動向量則成為：

${\displaystyle \mathbf {p} ^{(4)}=({E \over c},\mathbf {p} )=(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} )=m(\gamma c,\gamma \mathbf {v} )=m\mathbf {v} ^{(4)}}$

和牛頓力學的三維動量${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$定義相似。

數值

洛倫茲因子與速度的關係。速度為零時洛倫茲因子為1，速度${\displaystyle v\to c}$時洛倫茲因子趨於無窮大。

下表中，最左欄為以c為單位的速率；中間欄顯示相應的勞侖茲因子；最右欄為勞侖茲因子的倒數。以粗體字顯示者為精確值。

速率（c為單位）	勞侖茲因子	倒數
${\displaystyle \beta =v/c\,\!}$	${\displaystyle \gamma \,\!}$	${\displaystyle \alpha \equiv 1/\gamma \,\!}$
0.000	1.000	1.000
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045

非相對論性條件

當速度遠小於光速（非相對論性條件下），即${\displaystyle v\ll c}$，則${\displaystyle \beta }$趨近於0，而${\displaystyle \gamma }$趨近於1，回到傳統的牛頓力學描述。

參考資料

1. Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.