泊松分布(法語:loi de Poisson;英語:Poisson distribution)又稱Poisson分布、泊松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則(Poisson law of small numbers),是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布,由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。
Quick Facts 參數, 值域 ...
泊松分布
機率質量函數 橫軸是索引k,發生次數。該函數隻定義在k為整數的時候。連接線是只為了指導視覺。 |
累積分布函數 橫軸是索引k,發生次數。CDF在整數k處不連續,且在其他任何地方都是水平的,因為服從泊松分布的變量只針對整數值。 |
參數 |
λ > 0(實數) |
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值域 |
![{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\cdots \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77041f9a13eec19454afc554b18a3eda277217cf) |
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機率質量函數 |
![{\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81f4aab48b2869702242435d79ac5a6328d0aa7) |
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累積分布函數 |
,或 ,或
(對於 ,其中 是不完全Γ函數, 是高斯符號,Q是規則化Γ函數) |
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期望值 |
![{\displaystyle \lambda }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a) |
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中位數 |
![{\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b95cfadaa84099335d94c72adc9ec23bd62222) |
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眾數 |
![{\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43b2707041c373a53f00a3c51b5b2274b6fb84) |
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變異數 |
![{\displaystyle \lambda }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a) |
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偏度 |
![{\displaystyle \lambda ^{-1/2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cd186b688213575b20bf875991fadad5c8e5cb) |
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峰度 |
![{\displaystyle \lambda ^{-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e339fe3b3bd9b9883154cd2d5363f3ecf4ef7e8) |
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熵 |
(假設 較大)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a58789fda1663a8333f73ca627af71b1c27d46f)
![{\displaystyle \qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aaa1fbebdbf32f877eba1d8d7f37822ce31a78d) |
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動差母函數 |
![{\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89aa29f1044f37cb972bb329b3e2eec04028a540) |
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特徵函數 |
![{\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b58c6c531bc1b523760f6c5387bd030870192e) |
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機率母函數 |
![{\displaystyle \exp(\lambda (z-1))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01567be4aba31c7b69fa418341eac5992810c61) |
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Close
泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數,電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數、雷射的光子數分布等等。(單位時間內發生的次數,可以看作事件發生的頻率,類似物理的頻率
)。
泊松分布的機率質量函數為:
![{\displaystyle P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4eb63a8e6d46d0f7c642426ca59531507c5a9e)
泊松分布的參數
是隨機事件發生次數的數學期望值。