正規擴張是抽象代數中的概念,屬於域擴張中的一類。一個有限擴張L/K是正規擴張當且僅當擴域L是多項式環K[X]中的某個多項式的分裂域。布爾巴基學派將這類擴張稱為「准伽羅瓦擴張」。正規擴張是代數擴張的一種。
正規擴張的定義不止一種,以下三個準則都可以刻畫正規擴張,是三個等價的定義。域擴張L/K是正規擴張當且僅當它滿足以下三個等價條件中任意一個:
- L是多項式環K[X]中的某一族多項式的分裂域。
- 設Kalg是一個包含了L的K的代數閉包。對於L在Kalg上的每一個嵌入σ,只要它限制在K上的部分是平凡的(即為恆等映射:σ(x) = x),那麼就有σ(L) = L。換句話說,L在Kalg上的每一個K-嵌入σ都是一個L上的K-自同構。
- 任意一個K[X]上的不可約多項式,只要它在L中有一個根,那麼就可以在L[X]分解成一次因式的乘積(或者說全部的根都在L中)。
是
的一個正規擴張,因為它是
上的多項式
的分裂域。然而,
並不是
的一個正規擴張,因為
上的不可約多項式
有一個根:
在
裡面,但它的另外兩個根:
和
都是複數,不在
裡面。只有在加入了三次單位根:
後的擴域
才是一個正規擴張。
也可以用正規擴張的第二個定義來證明
不是
的正規擴張。設域
是由所有復代數數生成的擴域,則
是
的一個代數閉包,並且
在
裡面。另一方面,
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec92fd92a4fd23ee23cdb08abfa343c0dbae629)
並且,如果記
是
的復根之一,那麼映射:
![{\displaystyle {\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83267e97dc85785197c55c9c6bdb205f8018e657)
是
在
上的一個嵌入,並且它限制在
上的部分是平凡的(將
中元素映射到自己)。但是σ並不是
上的自同構。
更一般地,對每一個素數p,域擴張
都是
的一個正規擴張,擴張的次數是p(p - 1)。
是
上的多項式
的分裂域。其中的
是任意一個複數p次單位根。
設有域擴張L/K,那麼:
- 如果L是K的正規擴張,並且F是一個子擴張(也就是說有擴張K⊂F⊂L)那麼L也是F的正規擴張。
- 如果L的子域E和F都是K的正規擴張,那麼兩者的複合擴張EF(指L的子域中同時包含E和F的最小者)以及兩者的交E∩F也都是K的正規擴張。
設有域擴張L/K,那麼總存在域擴張M/L,使得M/K是正規擴張。在同構意義上,「最小」的這樣的擴張是唯一。即是說,其他的域擴張N/L如果使得N/K是正規擴張,那麼總存在N/L的子擴張M'/L,使得M'同構於M。這個唯一的「最小」正規擴張M/L稱為域擴張L/K的正規閉包。
如果L/K是有限擴張,那麼它的正規閉包M/L也是有限擴張(因此M/K也是有限擴張)。