正定函數

此條目介紹的是和正定矩陣有關的正定函數。關於其他的正定函數，請見「正定函數 (實值連續可微函數)」。

在數學上，複值域函數的正定函數是和正定矩陣有關的特質。

令${\displaystyle \mathbb {R} }$是實數集合，${\displaystyle \mathbb {C} }$為複數集合。

函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$稱為半正定，若針對所有實數x₁, …, x_n， n × n 矩陣

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

都是半正定矩陣^{[來源請求]}。

依照定義，半正定矩陣（像是${\displaystyle A}$）會是埃爾米特矩陣，因此f(−x)是f(x))的共軛複數。

若上述矩陣改為正定矩陣、半負定矩陣及負定矩陣，則函數則為正定函數、半負定函數及負定函數。

舉例

若${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是實內積空間，則${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$對於每一個${\displaystyle y\in X}$是正定：針對所有${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$，以及所有${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$，可得

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

正定函數的非負線性組合也是正定函數，像是餘弦函數是上述函數的非負線性組合，因此是正定的：

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

若有正定函數${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$，以及向量空間${\displaystyle X}$，可以建立正定函數${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$：選擇線性函數 ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$，並且定義${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$. 則

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

其中${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$，而在${\displaystyle \phi }$線性時，每一個${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$都是不同的^[1]。

Bochner定理

主條目：Bochner定理（英語：Bochner's theorem）

正定函數也出現在傅里葉變換的理論中，可以看出一個函數f正定就是可以成為在函數g（且g(y) ≥ 0）在實數線上傅里葉變換的充份條件。

反過來的結果就是Bochner定理（英語：Bochner's theorem），提到在實數線上的連續正定函數是正測度的傅里葉變換^[2]。

應用

在統計學（特別是貝葉斯統計）裡，此定理常用在實函數中，一般來說，會在${\displaystyle R^{d}}$裡選幾個點，針對其純量值進行n個純量的量測，若要量測結果有高度相關性，這些點需要互相靠近。實際上，必須小心確保所得的共變異數矩陣（n × n矩陣）恆為正定矩陣。有一個作法是定義一個相關矩陣，再乘以純量，得到協方差矩陣，所得的一定是正定矩陣。Bochner定理表示，若二個點的相關係數只會隨其距離而變化（也就是距離的函數f），則函數f一定會是正定函數，以確保共變異數矩陣A是正定的。

在此context下，一般不會用傅里葉變換，而是稱f(x)是對稱機率密度函數（PDF）的特徵函數。

擴展

主條目：群上的正定函數（英語：Positive-definite function on a group）

可以在局部緊阿貝爾拓樸群定義正定函數，Bochner定理可以擴展到此context。群上的正定函數會出自然的出現在希爾伯特空間上群的表示論裡（也就是酉表示（英語：unitary representation）的理論）。

參見

• 正定 (消歧義)#數學
• 正定核（英語：Positive-definite kernel）

腳註

1. Cheney, Elliot Ward. A course in Approximation Theory. American Mathematical Society. 2009: 77–78 [3 February 2022]. ISBN 9780821847985.
2. Bochner, Salomon. Lectures on Fourier integrals. Princeton University Press. 1959. 含有內容需登入查看的頁面 (link)

參考

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
• Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.

外部連結