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柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是拉格朗日中值定理的推廣,是微分學的基本定理之一。
如果函數及滿足
那麼在內至少有一點,使等式
或
成立。
其幾何意義為:用參數方程表示的曲線上至少有一點,它的切線平行於兩端點所在的弦。
但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線,因為可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點處,曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子
在區間[−1,1]上,曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。
柯西中值定理可以用來證明洛必達法則. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況。
首先,如果,由羅爾定理,存在一點使得,與條件3矛盾。所以。
令。那麼
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